Equação de Pell

Informe D e você receberá o menor par de inteiros positivos x e y que satisfaz a equação. O cálculo usa aritmética inteira exata, portanto até respostas além da faixa numérica comum do JavaScript permanecem corretas. A ferramenta é útil em exercícios de teoria dos números, estudos de frações contínuas, testes de algoritmos e sistemas que precisam de uma solução de Pell canônica e confiável.

O significado da solução fundamental

Para um inteiro positivo D fixo que não seja quadrado, a equação de Pell procura valores inteiros que satisfaçam x² − Dy² = 1. Há infinitas soluções positivas, mas elas são geradas a partir de um único par não trivial mínimo. Esta calculadora retorna esse par, chamado de solução fundamental: x e y são positivos, a identidade é satisfeita exatamente e nenhum x positivo menor resolve a mesma equação. Por exemplo, D = 2 resulta em x = 3 e y = 2, pois 3² − 2 × 2² é igual a 1. A entrada deve ser um número inteiro entre 2 e 10,000,000. Um D quadrado perfeito é rejeitado porque x² − Dy² se fatora como (x − √D y)(x + √D y), e não existe solução positiva com y maior que zero. Os resultados são apresentados como strings decimais, não como valores de ponto flutuante. Essa representação preserva todos os dígitos quando a solução fundamental é inesperadamente grande, o que ocorre até para alguns valores modestos de D. Assim, você pode copiar a resposta para um sistema de álgebra computacional ou uma biblioteca de precisão arbitrária sem arredondamento prévio.

Como as frações contínuas encontram a resposta

O algoritmo expande √D como uma fração contínua simples periódica. Seus convergentes fornecem aproximações racionais p/q cada vez melhores para √D, e o numerador e o denominador de um deles finalmente satisfazem p² − Dq² = 1. O solucionador atualiza o estado da fração contínua e as duas recorrências dos convergentes com operações inteiras determinísticas. Após cada etapa, ele testa a identidade de Pell usando aritmética BigInt e retorna imediatamente a primeira solução positiva. Esse primeiro convergente válido é a solução fundamental, portanto a ferramenta não precisa pesquisar pares arbitrários de inteiros nem estimar um intervalo para x e y. A contagem de iterações informa quantos convergentes foram testados, incluindo a parte inteira inicial de √D. Esse campo ajuda a comparar comprimentos de período ou analisar o desempenho, mas não altera o resultado matemático. Nenhuma aproximação numérica participa do teste final da identidade. A raiz quadrada comum serve apenas para obter o piso inteiro exato do D limitado; todos os valores de solução potencialmente grandes e todas as igualdades são calculados de modo exato.

Como usar e conferir os valores retornados

Envie um objeto com o campo d, como {"d": 13}. O alias D em maiúscula também é aceito para fórmulas copiadas da notação convencional. Uma resposta bem-sucedida inclui d, x, y e iterations. No código da sua aplicação, trate x e y como strings de inteiros decimais: linguagens com inteiros de precisão arbitrária podem convertê-las diretamente, enquanto sistemas restritos a números de largura fixa devem manter as strings ou usar uma biblioteca de inteiros grandes. Para verificar a resposta de forma independente, eleve x ao quadrado, subtraia D vezes o quadrado de y e confirme que o resultado é exatamente um. Faça essa verificação com aritmética inteira, não com ponto flutuante. Tipos inválidos, frações, valores fora do intervalo publicado e quadrados perfeitos geram um erro de entrada inválida em vez de um resultado enganoso. O solucionador não usa rede, aleatoriedade, estado armazenado nem data atual; assim, o mesmo D sempre produz a mesma resposta. O navegador é prático para cálculos isolados, e a API custa US$ 0,002 por solicitação quando você precisa integrá-la a um script, serviço educacional ou conjunto de testes.