Verificador de primos de Mersenne com Lucas-Lehmer

Primeiro, o expoente é validado, pois um expoente composto não pode produzir um primo de Mersenne. Essa regra separa uma solicitação inválida de um teste válido que conclui que o número é composto.

Escolha e valide o expoente

Informe um expoente inteiro p entre 2 e 10,000. O verificador aceita o campo p e o alias exponent, inclusive como texto inteiro em clientes orientados a texto. Antes de construir o número, ele confirma por divisão experimental determinística que p é primo. Essa é uma condição matemática, e não apenas uma otimização: se p for composto, 2^p - 1 terá uma fatoração algébrica. Portanto, esse caso gera erro de entrada, não um resultado falso. Assim, falso significa que um expoente primo foi testado corretamente, enquanto um erro informa que a solicitação não pertence ao domínio de Lucas-Lehmer. Decimais, campos ausentes, listas, textos não numéricos e valores fora do limite também são rejeitados.

Entenda o cálculo de Lucas-Lehmer

Depois de validar p, o sistema forma M = 2^p - 1 com aritmética BigInt exata. Para um primo ímpar, começa com s = 4 e substitui repetidamente s por seu quadrado menos 2, reduzido módulo M. São feitas exatamente p - 2 atualizações. O teorema de Lucas-Lehmer afirma que M é primo se, e somente se, o resíduo final for zero. Não há arredondamento, testemunhas probabilísticas, serviços de rede ou semente aleatória. O caso p = 2 corresponde a M = 3, não exige passos e retorna resíduo zero. A resposta mostra o Mersenne decimal exato, a decisão, o método, as iterações e o resíduo final para que você possa reproduzir e auditar o cálculo.

Interprete e aplique o resultado

Leia is_prime como a decisão sobre o número de Mersenne, e não sobre o expoente, que já foi validado. Verdadeiro indica resíduo final zero; falso indica que p era primo, mas 2^p - 1 era composto. Isso é comum, pois um expoente primo é necessário, porém não suficiente. mersenne e final_residue são textos decimais para evitar perda de precisão em JSON. A ferramenta atende a experiências didáticas, testes de regressão, demonstrações e verificações matemáticas limitadas. Ela não é um serviço de busca ilimitada: avalia um expoente por solicitação e impõe um teto. O navegador executa a mesma lógica determinística da API, e cada chamada automatizada custa US$ 0,002. Como o resultado não muda, use cache em sistemas de alto volume.