Calculadora de expansión de Engel para fracciones

Introduzca una fracción, por ejemplo 4/13, y obtendrá la secuencia no decreciente de denominadores de Engel, los términos de fracciones unitarias correspondientes y una versión normalizada de la entrada. Todo el cálculo usa aritmética de enteros, por lo que las aproximaciones decimales periódicas y el redondeo de coma flotante no pueden alterar el resultado. Resulta útil para estudiar teoría de números, preparar ejemplos resueltos, comprobar cálculos simbólicos y crear pruebas de software reproducibles.

Qué representa una expansión de Engel

Una expansión de Engel expresa un número real positivo como una suma cuyos denominadores son productos acumulados. Si la lista obtenida es a1, a2, a3, el valor representado es 1/a1 + 1/(a1 a2) + 1/(a1 a2 a3), y el mismo patrón continúa con cada entrada posterior. Para una entrada racional positiva, el proceso termina; por tanto, la calculadora devuelve una lista y una expresión finitas. Los denominadores no disminuyen, lo que confiere a la representación su estructura ordenada característica. No es lo mismo que una descomposición egipcia común: ambas emplean fracciones unitarias, pero la expansión de Engel condiciona cada término nuevo al producto de todos los denominadores elegidos hasta ese momento. La salida incluye tanto la lista de denominadores, práctica para cálculos o código, como los términos desarrollados de la suma de productos. La fracción se reduce al principio, de modo que entradas equivalentes como 8/26 y 4/13 generan la misma fracción normalizada y la misma expansión.

Cómo funciona el algoritmo exacto

El cálculo parte del valor racional positivo actual p/q y elige como siguiente denominador el techo de q/p. La selección se realiza mediante división entera, sin convertir la fracción en decimal. Después, el residuo se transforma según la recurrencia de Engel: p se sustituye por a multiplicado por p menos q, se conserva q y la fracción resultante se reduce mediante su máximo común divisor. Cuando el nuevo numerador es cero, la expansión ha terminado; de lo contrario, se repiten los pasos. Como numeradores, denominadores, techos, productos y reducciones usan enteros de precisión arbitraria, la respuesta continúa siendo exacta incluso si los valores superan el rango entero seguro de JavaScript. La implementación rechaza texto mal formado, cero, valores negativos y denominadores nulos, en lugar de adivinar la intención. También limita el tamaño de la entrada y la longitud de la expansión para mantener una ejecución predecible. Así, una misma fracción válida siempre produce los mismos datos matemáticos.

Cómo interpretar y usar el resultado

Consulte primero el campo de denominadores cuando necesite la secuencia canónica de Engel. Sus elementos son cadenas para conservar con exactitud enteros muy grandes al atravesar sistemas JSON que no representan de forma segura todos los números. El campo de longitud indica cuántos denominadores y, por tanto, cuántos términos de fracción unitaria aparecen. El campo de expansión multiplica acumulativamente los denominadores elegidos y muestra cada recíproco, lo que facilita verificar la suma de manera independiente con aritmética racional. Para enseñar el método, compare cada denominador con la regla del techo y calcule el residuo después de cada paso. Para pruebas de software, use la fracción normalizada y el arreglo de denominadores como resultados estables; incluya entradas equivalentes sin reducir para comprobar la normalización. La capacidad solo admite fracciones positivas: no calcula expansiones infinitas de decimales irracionales, no interpreta números mixtos ni aproxima valores de coma flotante. Por API, cada solicitud cuesta $0.002. El navegador y la API comparten el mismo solucionador puro.