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Forma padrão de polinômios

Um polinômio está na forma padrão quando os termos semelhantes foram combinados e os termos restantes aparecem do maior expoente até a constante.

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Esta calculadora executa as duas etapas em uma expressão univariada e devolve um resultado normalizado. Ela aceita coeficientes implícitos, valores inteiros ou decimais, frações exatas, sinais de multiplicação opcionais e potências inteiras não negativas. O resultado também informa o grau e apresenta uma lista estruturada de termos, útil para conferir exercícios, preparar outras operações algébricas ou normalizar expressões em um fluxo automatizado.

Digite um polinômio como termos com sinal

Forneça um polinômio com uma única variável, como 3x^2 + 4x - 7 + 2x^3 - x^2. Os espaços são opcionais, e um asterisco entre o coeficiente e a variável é aceito; portanto, 3*x^2 e 3x^2 têm o mesmo significado. Quando o coeficiente não aparece, seu valor é um: x^4 corresponde a 1x^4, enquanto -x corresponde a -1x. Você pode usar números inteiros, decimais ou frações como 5/8. Os expoentes precisam ser números inteiros não negativos. O analisador rejeita deliberadamente parênteses, produtos de expressões polinomiais, expoentes negativos, várias variáveis e notação científica, pois essas formas exigem expansão ou representam outro objeto algébrico. Uma gramática explícita mantém a resposta previsível e evita adivinhações. Se você usar uma letra diferente de x, ela será preservada. Constantes isoladas também são polinômios válidos e têm grau zero, exceto quando o valor combinado é zero.

Entenda a combinação dos termos semelhantes

Termos são semelhantes quando contêm a mesma variável elevada à mesma potência. A calculadora lê cada termo com sinal, agrupa os coeficientes pelo expoente e soma esses coeficientes com exatidão. Por exemplo, 3x^2 e -x^2 contribuem com três e menos um para o grupo de grau dois, produzindo 2x^2. Frações e decimais finitos são representados internamente como valores racionais exatos; assim, 0.1x + 0.2x resulta em 3/10x, sem um artefato de arredondamento de ponto flutuante. Todo grupo cujo coeficiente se torna zero é removido. Esse cancelamento pode reduzir o grau, e o cancelamento completo produz o polinômio zero. A resposta usa grau -1 nesse caso especial, uma convenção computacional comum porque o polinômio zero não tem maior potência não nula. A lista estruturada mostra cada grau restante e seu coeficiente reduzido, permitindo que outro programa use os dados sem analisar novamente a expressão exibida.

Leia e aproveite o resultado na forma padrão

Depois de combinar os coeficientes, a calculadora classifica os termos restantes do maior expoente para o menor. Ela mostra os sinais entre os termos, suprime o coeficiente um nos termos com variável, omite o expoente um e reduz as frações. O campo principal normalized_expression pode ser copiado para uma atividade ou usado como valor canônico de exibição. O campo degree identifica o maior expoente que permanece após os cancelamentos, e variable registra o símbolo usado na entrada. A forma padrão é especialmente útil antes de comparar polinômios, identificar termos principais, aplicar divisão longa, derivar ou conferir o grau esperado. Esta capacidade normaliza, mas não expande: ela não distribui multiplicações sobre parênteses nem calcula o polinômio em um valor escolhido. Pela API, cada expressão custa US$ 0,002; o mesmo núcleo determinístico funciona no navegador. Assim, entradas válidas idênticas geram saídas idênticas, sem rede, escolhas aleatórias ou comportamento dependente do tempo.

Casos de uso

Confira um exercício de álgebra

Combine potências repetidas e verifique se o polinômio final está ordenado do termo principal até a constante.

Normalize expressões armazenadas

Converta polinômios textuais equivalentes em uma apresentação consistente antes de salvar, comparar ou indexar.

Prepare um cálculo posterior

Produza uma lista ordenada de termos e o grau antes de dividir, derivar ou processar coeficientes.

Perguntas frequentes

O que é a forma padrão de um polinômio?

É um polinômio com os termos semelhantes combinados e os termos não nulos ordenados do maior grau para o menor.

Posso usar uma variável diferente de x?

Sim. Qualquer letra inglesa única é aceita e preservada, mas uma expressão não pode misturar variáveis diferentes.

Frações e decimais são aceitos?

Sim. Coeficientes inteiros, decimais finitos e fracionários são combinados com aritmética racional exata, e as frações são reduzidas.

A calculadora expande parênteses?

Não. Digite uma soma ou diferença de monômios. Produtos e expressões entre parênteses precisam ser expandidos antes.

Por que o grau do polinômio zero é -1?

Após o cancelamento de todos os termos, não existe um maior expoente não nulo. A resposta usa -1 como convenção computacional prática.

Quanto custa uma solicitação de API?

Cada solicitação custa US$ 0,002. A execução no navegador desta página é gratuita.

Para desenvolvedores — acesso via API

Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-standard-form

Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.

Chame do seu código

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-standard-form \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"text":"3x^2 + 4x - 7 + 2x^3 - x^2 + 5 - 4x"}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-standard-form", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "text": "3x^2 + 4x - 7 + 2x^3 - x^2 + 5 - 4x"
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-standard-form",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "text": "3x^2 + 4x - 7 + 2x^3 - x^2 + 5 - 4x"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-standard-form", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"text":"3x^2 + 4x - 7 + 2x^3 - x^2 + 5 - 4x"}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"text":"3x^2 + 4x - 7 + 2x^3 - x^2 + 5 - 4x"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-standard-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemplo de requisição

{
  "text": "3x^2 + 4x - 7 + 2x^3 - x^2 + 5 - 4x"
}

Exemplo de resposta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.polynomial_standard_form",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.

Preço

por chamadaUS$ 0,002

Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.

Limites

`max_chars`	20000
`max_degree`	10000

Erros

HTTP	Código	O que significa
`401`	`unauthorized`	Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo.
`404`	`unknown_type`	Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo.
`429`	`rate_limited`	Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo.

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