Método de Steffensen para raízes

Informe uma expressão para f(x), escolha o valor inicial e os critérios de parada e receba a estimativa final com todo o histórico de iterações. O método emprega uma correção ao estilo de Aitken construída com f(x) e f(x + f(x)); perto de uma raiz simples apropriada, ele pode atingir convergência quadrática usando apenas valores da função. O resultado estruturado atende a estudos, verificações e fluxos numéricos reproduzíveis.

Informe a função e uma estimativa inicial adequada

Escreva a função como uma expressão em x, como x^2 - 2, cos(x) - x ou exp(-x) - x. A multiplicação deve ser explícita: use 2*x, não 2x. O analisador aceita números decimais e notação científica, parênteses, +, -, *, /, potências com ^, as constantes pi e e, além de funções de um argumento como sin, cos, tan, exp, log, log10, sqrt e abs. Ele não executa JavaScript nem aceita atribuições como f(x)=. Forneça em initial_guess um número finito suficientemente próximo da raiz desejada. Steffensen é um método aberto: ao contrário da bisseção, ele não começa com um intervalo que garanta conter uma raiz. Valores iniciais diferentes podem convergir para zeros distintos, atingir uma singularidade ou sair da região útil. Um gráfico, uma varredura de sinais ou uma estimativa matemática pode orientar sua escolha. tolerance controla o resíduo e a variação relativa aceitáveis; max_iterations impõe um limite rígido. Selecione uma tolerância compatível com a precisão dos dados, sem pedir dígitos que o problema não justifica.

Entenda a atualização de Steffensen e o estilo de Aitken

Na estimativa atual x, a calculadora avalia primeiro f(x) e depois a função no ponto deslocado x + f(x). A diferença f(x + f(x)) - f(x) forma o denominador; a próxima estimativa é x menos o quadrado de f(x) dividido por esse denominador. Essa construção pode ser vista como aceleração de Aitken aplicada a uma iteração de ponto fixo e aproxima o efeito de um passo de Newton sem calcular f'(x). Para uma função suficientemente suave, uma raiz simples e um início adequado, a convergência local costuma ser quadrática: perto da solução, a quantidade de dígitos corretos pode crescer rapidamente. Isso não é garantia global. Denominador zero torna a atualização indefinida; um valor minúsculo pode gerar um salto enorme. A ferramenta rejeita denominador exatamente nulo e qualquer valor não finito. Cada linha do histórico mostra x, f(x), o ponto deslocado, seu valor funcional, o denominador, a próxima estimativa e o próximo resíduo. Assim, você pode reproduzir a fórmula, acompanhar a aceleração e localizar precisamente uma dificuldade.

Leia a convergência com cuidado e valide o resultado

O campo converged torna-se true quando o novo resíduo não excede tolerance ou quando a atualização é pequena em relação à escala da nova estimativa. root e f_root contêm a última estimativa e o resíduo avaliado, enquanto iterations conta as atualizações concluídas. Se o palpite inicial já satisfizer o teste do resíduo, o retorno terá zero iterações e histórico vazio. Ao atingir o limite, a calculadora devolve converged como false, a última estimativa finita e todo o histórico; ela não apresenta esgotamento como sucesso. Sempre confira f_root, pois uma atualização pequena pode resultar de estagnação numérica sem um resíduo aceitável. Em trabalhos importantes, substitua a raiz na fórmula original, repita com um início próximo e compare com um método de intervalo quando possível. Raízes múltiplas podem reduzir a ordem esperada; descontinuidades, domínios restritos, regiões planas e fórmulas mal escaladas podem impedir a convergência. A aritmética de ponto flutuante também limita a precisão útil. Esta ferramenta é uma calculadora transparente, não uma prova simbólica de existência, unicidade ou erro garantido; essas conclusões exigem análise independente de continuidade, derivadas, intervalos e condicionamento.