Calculadora de determinante hessiano

Em seguida, aplica o teste da segunda derivada quando o ponto é crítico, distinguindo mínimo local, máximo local, ponto de sela ou caso inconclusivo. Todas as derivadas são obtidas analiticamente do polinômio, sem estimativas por amostras próximas, o que torna o resultado apropriado para conferir exercícios, preparar material didático e adicionar validação matemática previsível a uma aplicação.

Informe a função e o ponto em um formato compatível

Escreva a função como um polinômio expandido em x e y e forneça valores numéricos finitos para as duas coordenadas. São aceitas entradas como x^2 + 3xy + 2y^2, 4*x^3*y - 7xy + 5 e f(x,y)=x^2-y^2. Os sinais de multiplicação entre fatores comuns são opcionais, e ^ ou ** podem introduzir um expoente inteiro não negativo. Coeficientes decimais e notação científica também são compatíveis. O analisador rejeita intencionalmente parênteses, divisão por variáveis, potências negativas ou fracionárias, coeficientes simbólicos e funções nomeadas, como seno, logaritmo ou exponencial. Manter a gramática aceita explícita impede que uma expressão incompatível seja interpretada apenas em parte ou de modo aproximado. Termos semelhantes são combinados internamente; assim, x^2 + 2x^2 é tratado como 3x^2. Os campos das coordenadas devem conter números finitos reais, e não textos numéricos, infinito ou valores ausentes. Limites de comprimento, quantidade de termos e grau mantêm cada solicitação controlada. Se sua função não for polinomial, simplifique-a somente quando a transformação for matematicamente exata; caso contrário, use uma ferramenta destinada à família correspondente.

Entenda o cálculo do determinante hessiano

Para uma função f(x,y), a calculadora primeiro avalia os componentes fx e fy do gradiente. Depois, deriva novamente para obter fxx, fxy, fyx e fyy. Em um polinômio, as derivadas parciais mistas coincidem; portanto, fxy e fyx são devolvidas com o mesmo valor. Essas quatro entradas formam a matriz hessiana dois por dois. Seu determinante é D=fxx vezes fyy menos o quadrado de fxy. A implementação deriva cada coeficiente e potência termo a termo, avalia as derivadas resultantes nas coordenadas informadas e normaliza resíduos insignificantes de ponto flutuante para produzir uma saída estável. Ela não estima inclinações com um tamanho de passo, portanto você não precisa escolher um intervalo de diferenças finitas e não há erro de truncamento provocado pela amostragem de pontos vizinhos. A resposta inclui o valor da função, o gradiente, as entradas da hessiana e o determinante, permitindo que você audite o cálculo em vez de receber apenas uma classificação. Para conferir o determinante, multiplique as entradas diagonais retornadas e subtraia fxy vezes fyx. Toda a aritmética precisa permanecer finita; solicitações cujas magnitudes excedam a aritmética numérica comum são recusadas em vez de retornar infinito ou um valor nulo sem utilidade.

Aplique e interprete o teste da segunda derivada

O teste da segunda derivada só classifica um ponto depois que o gradiente é confirmado como zero. Por isso, a calculadora retorna o indicador critical e informa not_critical_point quando uma das derivadas parciais de primeira ordem é diferente de zero, mesmo que o determinante hessiano seja positivo ou negativo. Em um ponto crítico, determinante positivo com fxx positivo indica mínimo local; determinante positivo com fxx negativo indica máximo local. Um determinante negativo indica ponto de sela, pois a superfície se curva em direções opostas. Quando o determinante é zero, o teste é inconclusivo: o ponto ainda pode ser mínimo, máximo, sela ou nenhum deles, mas uma análise de ordem superior será necessária. Essa distinção é importante porque zero não prova que nada acontece. Os resultados usam rótulos concisos legíveis por máquina para facilitar testes em programas educacionais ou fluxos de processamento, enquanto todos os valores envolvidos continuam visíveis para revisão humana. Os cálculos no navegador são gratuitos, e solicitações API automatizadas usam o preço-base publicado de US$ 0,002. Como a execução não utiliza rede, aleatoriedade, estado salvo ou relógio, a mesma entrada válida produz o mesmo resultado estruturado em todos os canais compatíveis.