Calculadora de número de condição

Esse único número mostra quanto um pequeno erro nos seus dados — um arredondamento, um ruído de medição, um coeficiente truncado — pode ser amplificado ao resolver um sistema linear ou inverter a matriz. Um número de condição próximo de 1 significa que o problema é estável; um número grande alerta que a resposta pode estar dominada pelo ruído. O cálculo é feito em uma única passada determinística: a matriz é validada, forma-se A-transposta-A e seus autovalores são obtidos por uma iteração clássica de Jacobi, cujas raízes quadradas são os valores singulares.

O que um número de condição realmente mede

Ao resolver numericamente um sistema Ax = b, você quase nunca trabalha com A e b exatos. Os coeficientes vêm de medições, de cálculos anteriores ou de entradas decimais arredondadas no caminho. O número de condição de A é o fator de amplificação, no pior caso, dessa incerteza: se a entrada muda por uma quantidade relativa épsilon, a solução pode mudar em até kappa vezes épsilon. Com kappa = 10, um erro de um por cento nos dados pode produzir um erro de dez por cento na resposta. Com kappa = 1,000,000, você pode perder seis dos cerca de dezesseis dígitos decimais que um double comporta. O número de condição em norma 2 calculado aqui, kappa_2, é definido pelos valores singulares de A: o maior valor singular sigma_max mede o máximo que a matriz pode esticar um vetor, o menor sigma_min mede o máximo que ela pode encolhê-lo, e a razão entre eles é kappa_2. Uma matriz ortogonal, como uma rotação, tem kappa_2 exatamente 1 — o melhor possível. Uma matriz com linhas linearmente dependentes tem sigma_min = 0 e kappa_2 infinito, e é por isso que esta capacidade rejeita matrizes singulares em vez de imprimir um número enorme e sem sentido.

Como o número é calculado aqui

O algoritmo é determinístico e autocontido, sem biblioteca numérica externa. Primeiro a sua entrada é normalizada: os valores podem ser enviados como um array de linhas ou como texto simples com linhas separadas por quebras de linha ou ponto e vírgula, e valores por vírgulas ou espaços. Cada valor deve ser um número finito, todas as linhas devem ter o mesmo comprimento e a matriz deve ser quadrada — uma matriz 2 por 3 não tem número de condição nesse sentido, então a solicitação é rejeitada com um erro claro que nomeia o campo culpado. Em seguida, o código forma a matriz simétrica G = A^T A e extrai seus autovalores com a iteração cíclica clássica de Jacobi: uma sequência fixa de rotações planas que zeram as entradas fora da diagonal uma a uma até a matriz ficar diagonal na precisão de trabalho. Como a ordem das rotações, a convenção de sinais e o limite de varreduras são fixos, a mesma matriz produz sempre a mesma resposta, bit a bit. Os autovalores de G são os quadrados dos valores singulares de A, portanto suas raízes quadradas dão sigma_max e sigma_min, e a razão, arredondada para doze casas decimais para uma saída estável, é o número de condição retornado. Matrizes cujo menor valor singular fica abaixo de um piso numérico escalonado — aproximadamente kappa_2 acima de dez bilhões — são reportadas como numericamente singulares, porque a dupla precisão não consegue distingui-las honestamente de uma matriz com deficiência de posto.

Como ler o resultado e usá-lo bem

A resposta oferece quatro coisas: o número de condição em si, sigma_max, sigma_min e uma mensagem em linguagem clara que classifica a matriz. Considere bem condicionada qualquer kappa abaixo de cerca de 10 — os resolvedores diretos vão se comportar bem. Entre cem e um milhão, planeje uma perda visível de precisão e prefira algoritmos estáveis: decomposição QR ou LU com pivoteamento parcial, em vez de formar uma inversa explícita, que eleva ao quadrado o erro do cálculo que a alimenta. Acima de um milhão, a leitura honesta é que a resposta depende mais do ruído dos seus dados do que do resolvedor, e a medida correta costuma ser reescalar o problema, regularizá-lo ou rever se a matriz do modelo é a adequada. Dois hábitos práticos valem a pena: verifique o número de condição antes de culpar um resolvedor por uma resposta ruim, porque uma matriz mal condicionada produz respostas erradas com código correto; e compare números de condição entre formulações, porque o mesmo problema físico escrito com outras unidades ou funções de base pode diferir em ordens de grandeza em kappa. O mesmo código que roda aqui executa grátis no seu navegador nesta página, então você pode colar uma matriz e ver o resultado antes de pagar US$ 0,002 por solicitação para automatizá-lo.