Calculadora de número de condición

Esta única cifra le dice cuánto puede amplificarse un pequeño error en sus datos —un redondeo, un ruido de medición, un coeficiente truncado— al resolver un sistema lineal o invertir la matriz. Un número de condición cercano a 1 significa que el problema es estable; uno grande advierte de que la respuesta puede estar dominada por el ruido. El cálculo se ejecuta en una sola pasada determinista: se valida la matriz, se forma A-transpuesta-A y sus autovalores se obtienen mediante una iteración de Jacobi clásica, cuyas raíces cuadradas son los valores singulares.

Qué mide realmente un número de condición

Cuando usted resuelve numéricamente un sistema Ax = b, casi nunca trabaja con A y b exactos. Los coeficientes provienen de mediciones, de cálculos previos o de entradas decimales redondeadas en el camino. El número de condición de A es el factor de amplificación, en el peor caso, de esa incertidumbre: si la entrada cambia en una cantidad relativa épsilon, la solución puede cambiar hasta kappa veces épsilon. Con kappa = 10, un error del uno por ciento en los datos puede producir un error del diez por ciento en la respuesta. Con kappa = 1,000,000, puede perder seis de las dieciséis cifras decimales que caben en un doble. El número de condición en norma 2 que aquí se calcula, kappa_2, se define mediante los valores singulares de A: el mayor valor singular sigma_max mide lo máximo que la matriz puede estirar un vector, el menor sigma_min lo máximo que puede encogerlo, y su cociente es kappa_2. Una matriz ortogonal, como una rotación, tiene kappa_2 exactamente 1 —lo mejor posible. Una matriz con filas linealmente dependientes tiene sigma_min = 0 y kappa_2 infinito, y por eso esta capacidad rechaza las matrices singulares en lugar de imprimir un número enorme y sin sentido.

Cómo se calcula aquí el número

El algoritmo es determinista y autocontenido, sin biblioteca numérica externa. Primero se normaliza su entrada: las entradas pueden enviarse como un arreglo de filas o como texto plano con filas separadas por saltos de línea o punto y coma, y valores por comas o espacios. Cada entrada debe ser un número finito, todas las filas deben tener la misma longitud y la matriz debe ser cuadrada —una matriz de 2 por 3 no tiene número de condición en este sentido, así que la solicitud se rechaza con un error claro que nombra el campo culpable. El código forma después la matriz simétrica G = A^T A y extrae sus autovalores con la iteración cíclica clásica de Jacobi: una secuencia fija de rotaciones planas que anulan las entradas fuera de la diagonal una a una hasta que la matriz queda diagonal con precisión de trabajo. Como el orden de las rotaciones, la convención de signos y el tope de barridos son fijos, la misma matriz produce siempre la misma respuesta, bit a bit. Los autovalores de G son los cuadrados de los valores singulares de A, de modo que sus raíces cuadradas dan sigma_max y sigma_min, y el cociente, redondeado a doce cifras decimales para una salida estable, es el número de condición devuelto. Las matrices cuyo valor singular más pequeño cae por debajo de un suelo numérico escalado —aproximadamente kappa_2 por encima de diez mil millones— se reportan como numéricamente singulares, porque la doble precisión no puede distinguirlas honestamente de una matriz deficiente en rango.

Cómo leer el resultado y usarlo bien

La respuesta le da cuatro cosas: el número de condición en sí, sigma_max, sigma_min y un mensaje en lenguaje claro que clasifica la matriz. Considere bien condicionada cualquier kappa por debajo de unas 10 —los solucionadores directos se comportarán bien. Entre cien y un millón, prevea una pérdida visible de precisión y prefiera algoritmos estables: descomposición QR o LU con pivoteo parcial, en lugar de formar una inversa explícita, que cuadra el error del cálculo que la alimenta. Por encima de un millón, la lectura honesta es que la respuesta depende más del ruido de sus datos que del solucionador, y la medida correcta suele ser reescalar el problema, regularizarlo o revisar si la matriz del modelo es la adecuada. Dos hábitos prácticos rinden: compruebe el número de condición antes de culpar a un solucionador por una mala respuesta, porque una matriz mal condicionada produce respuestas erróneas con código correcto; y compare números de condición entre formulaciones, porque el mismo problema físico escrito con otras unidades o funciones base puede diferir en órdenes de magnitud en kappa. El mismo código que corre aquí se ejecuta gratis en su navegador en esta página, de modo que puede pegar una matriz y ver el resultado antes de pagar $0.002 por solicitud para automatizarlo.