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Forma de vértice a forma estándar

Esta calculadora convierte una cuadrática escrita como a(x − h)² + k desde la forma de vértice hasta ax² + bx + c.

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Introduzca el coeficiente principal a y las coordenadas h y k del vértice. La herramienta aplica la propiedad distributiva, reúne los términos constantes y devuelve directamente a, b y c. Resulta útil para comprobar operaciones algebraicas, preparar una ecuación para la fórmula cuadrática o cambiar de representación sin alterar la parábola.

Cómo interpretar correctamente la forma de vértice

Una cuadrática en forma de vértice se escribe a(x − h)² + k. El valor a determina la orientación y la escala vertical de la parábola, mientras que (h, k) es su vértice. Introduzca h con el signo de la coordenada, no solo con el signo visible dentro del paréntesis. Por ejemplo, (x − 3)² requiere h = 3, mientras que (x + 3)² equivale a (x − (−3))² y requiere h = −3. El coeficiente a no puede ser cero, porque desaparecería el término cuadrático. En cambio, h y k pueden ser cero, positivos, negativos o decimales. Con esos tres datos, la conversión queda determinada de manera única. La calculadora devuelve coeficientes numéricos finitos que puede copiar en operaciones posteriores o comparar con una expansión hecha a mano.

Cómo se obtienen b y c al expandir

La conversión parte de la identidad (x − h)² = x² − 2hx + h². Al multiplicar todos los términos por a se obtiene ax² − 2ahx + ah², y al sumar k queda ax² − 2ahx + ah² + k. La comparación con ax² + bx + c muestra que el coeficiente principal sigue siendo a, que b = −2ah y que c = ah² + k. En 2(x − 3)² − 5, por ejemplo, la expansión produce 2(x² − 6x + 9) − 5, después 2x² − 12x + 18 − 5 y finalmente 2x² − 12x + 13. La herramienta aplica directamente estas identidades, sin interpretar texto libre. Así evita ambigüedades debidas a superíndices, signos de multiplicación o distintas notaciones de teclado, y admite valores decimales como coeficientes numéricos ordinarios.

Cómo comprobar y utilizar el resultado

Para verificar la conversión, sustituya x = h en el resultado en forma estándar. Como h es la coordenada horizontal del vértice, ah² + bh + c debe ser igual a k. También puede evaluar ambas expresiones en cualquier valor cómodo de x; si coinciden, describen la misma parábola. La forma estándar es práctica para reconocer el término constante, aplicar la fórmula cuadrática, calcular el discriminante b² − 4ac, operar con polinomios o comparar coeficientes. La forma de vértice, en cambio, permite leer con mayor facilidad el punto de giro y el eje de simetría. Ninguna representación es siempre superior: cada una resalta información diferente. Conserve juntos los valores devueltos de a, b y c, incluso cuando alguno sea cero. Si b = 0, normalmente se omite el término central al escribir el polinomio, pero su coeficiente sigue siendo cero.

Qué puede hacer con ella

Comprobar una expansión escolar

Compare los términos distribuidos y simplificados con los coeficientes a, b y c devueltos.

Preparar la fórmula cuadrática

Obtenga la forma con coeficientes que necesitan el discriminante y la fórmula cuadrática.

Comparar dos parábolas

Convierta la forma de vértice para contrastar directamente los coeficientes de ambas ecuaciones.

Preguntas frecuentes

¿Qué fórmula convierte la forma de vértice en estándar?

Para a(x − h)² + k, los coeficientes son a = a, b = −2ah y c = ah² + k.

¿Cómo se introduce (x + h)²?

Interprete la suma como la resta de una coordenada negativa. Por ejemplo, (x + 4)² usa h = −4.

¿Puede a ser cero?

No. Si a es cero, desaparece el término al cuadrado y la expresión deja de ser cuadrática.

¿Se admiten valores decimales o negativos?

Sí. a, h y k pueden ser números finitos decimales o negativos, siempre que a no sea cero.

¿Cuánto cuesta una solicitud API?

Cada solicitud API cuesta $0.002. La calculadora del navegador es gratuita en esta página.

Para desarrolladores — acceso por API

Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.

Endpoint de API

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form

¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.

Llámela desde su stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":2,"h":3,"k":-5}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 2,
    "h": 3,
    "k": -5
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 2,
    "h": 3,
    "k": -5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":2,"h":3,"k":-5}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"h":3,"k":-5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Ejemplo de solicitud

{
  "a": 2,
  "h": 3,
  "k": -5
}

Ejemplo de respuesta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.quadratic_from_vertex_form",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.

Precio

Por solicitud$0.002

Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.

Errores

HTTP	Código	Significado
`401`	`unauthorized`	API key ausente o inválida.
`402`	`insufficient_balance`	El saldo no cubre el precio de la tarea.
`404`	`unknown_type`	El tipo de tarea no existe.
`429`	`rate_limited`	Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear.

Ver la documentación completa del KIT →