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Forme canonique vers développée

Ce calculateur transforme une fonction quadratique écrite sous la forme a(x − h)² + k en ax² + bx + c.

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Saisissez le coefficient directeur a ainsi que les coordonnées h et k du sommet. L’outil applique la distributivité, regroupe les termes constants et fournit directement a, b et c. Vous pouvez ainsi vérifier un développement, préparer l’emploi de la formule quadratique ou passer d’une représentation à l’autre sans modifier la parabole.

Bien lire la forme canonique

Une fonction quadratique sous forme canonique s’écrit a(x − h)² + k. Le nombre a détermine l’orientation et l’échelle verticale de la parabole, tandis que (h, k) représente son sommet. Saisissez h avec le signe de sa coordonnée, et non simplement avec le signe visible dans les parenthèses. Ainsi, (x − 3)² correspond à h = 3, alors que (x + 3)² équivaut à (x − (−3))² et correspond à h = −3. Le coefficient a ne peut pas être nul, car le terme au carré disparaîtrait et l’expression ne serait plus quadratique. En revanche, h et k peuvent être nuls, positifs, négatifs ou décimaux. Ces trois données déterminent une seule forme développée équivalente. Le calculateur renvoie des coefficients numériques finis que vous pouvez réutiliser ou comparer à votre propre développement.

Obtenir b et c par développement

La conversion repose sur l’identité (x − h)² = x² − 2hx + h². La multiplication de chaque terme par a donne ax² − 2ahx + ah², puis l’ajout de k donne ax² − 2ahx + ah² + k. En comparant avec ax² + bx + c, on constate que le premier coefficient reste a, que b = −2ah et que c = ah² + k. Par exemple, 2(x − 3)² − 5 devient 2(x² − 6x + 9) − 5, puis 2x² − 12x + 18 − 5 et enfin 2x² − 12x + 13. Le calculateur applique directement ces identités plutôt que d’interpréter une équation saisie librement. Il évite ainsi les ambiguïtés liées aux exposants, aux signes de multiplication ou aux notations de clavier, tout en acceptant les nombres décimaux comme coefficients ordinaires.

Vérifier et exploiter la forme développée

Pour contrôler la conversion, remplacez x par h dans le résultat développé. Puisque h est l’abscisse du sommet, ah² + bh + c doit être égal à k. Vous pouvez également évaluer les deux expressions pour une valeur quelconque de x : des résultats identiques confirment qu’elles décrivent la même parabole. La forme développée facilite la lecture du terme constant, l’application de la formule quadratique, le calcul du discriminant b² − 4ac, les opérations sur les polynômes et la comparaison des coefficients. La forme canonique reste plus pratique pour repérer le sommet et l’axe de symétrie. Aucune des deux n’est donc toujours préférable ; elles mettent en évidence des informations différentes. Conservez ensemble a, b et c, y compris les coefficients nuls. Lorsque b = 0, le terme central est généralement omis à l’écrit, mais son coefficient reste bien nul.

Cas d’usage

Vérifier un exercice de développement

Comparez vos termes distribués et réduits avec les coefficients a, b et c calculés.

Préparer la formule quadratique

Obtenez la forme coefficientielle nécessaire au discriminant et à la formule quadratique.

Comparer deux paraboles

Convertissez une forme canonique afin de comparer directement les coefficients des équations.

Questions fréquentes

Quelle formule permet de passer à la forme développée ?

Pour a(x − h)² + k, les coefficients sont a = a, b = −2ah et c = ah² + k.

Comment saisir (x + h)² ?

Considérez le signe plus comme la soustraction d’une coordonnée négative. Ainsi, (x + 4)² utilise h = −4.

Le coefficient a peut-il être nul ?

Non. Si a est nul, le terme au carré disparaît et l’expression n’est plus quadratique.

Les valeurs décimales ou négatives sont-elles acceptées ?

Oui. a, h et k peuvent être des nombres finis décimaux ou négatifs, à condition que a soit non nul.

Combien coûte une requête API ?

Chaque requête API coûte $0.002. Le calculateur intégré à cette page est gratuit.

Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":2,"h":3,"k":-5}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 2,
    "h": 3,
    "k": -5
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 2,
    "h": 3,
    "k": -5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":2,"h":3,"k":-5}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"h":3,"k":-5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-from-vertex-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "a": 2,
  "h": 3,
  "k": -5
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.quadratic_from_vertex_form",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

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