Raíces cúbicas complejas

Esta calculadora obtiene las tres mediante la fórmula de De Moivre y presenta cada resultado en forma polar y rectangular. Introduzca las componentes real e imaginaria del número original para conocer su módulo y argumento principal, además del módulo, el ángulo en radianes y grados y las componentes de cada raíz. El cero se trata de forma explícita y produce tres raíces nulas coincidentes.

Introduzca el número complejo en forma rectangular

Exprese el número como a + bi: escriba a en el campo real y b en el campo imaginario. Ambas entradas pueden ser positivas, negativas o cero, pero deben ser números finitos. Por ejemplo, 8 + 0i se introduce con 8 como parte real y 0 como parte imaginaria; para -8i, use 0 y -8. La calculadora convierte primero el par a forma polar. El módulo es la distancia al origen y se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de a y b. El argumento principal se obtiene con la función arcotangente de dos argumentos, que conserva el cuadrante correcto. El ángulo de entrada se muestra en la rama principal habitual, entre pi negativo y pi positivo. Usar componentes rectangulares evita ambigüedades sobre unidades angulares y simplifica los valores situados sobre los ejes. Si ambas componentes son cero, se muestra por convenio un argumento igual a cero, aunque geométricamente el argumento del cero no esté definido. Las tres entradas de raíces representan entonces el mismo cero.

Cómo produce tres raíces la fórmula de De Moivre

Escriba la entrada como r multiplicado por la exponencial de i theta, donde r es el módulo y theta el argumento principal. La fórmula de De Moivre establece que cada raíz cúbica tiene como módulo la raíz cúbica real de r. Sus ángulos posibles son theta dividido entre tres, theta más dos pi dividido entre tres y theta más cuatro pi dividido entre tres. De forma equivalente, la calculadora usa (theta + 2 pi k) / 3 para k igual a 0, 1 y 2. Añadir una vuelta completa antes de dividir genera raíces separadas por 120 grados; por eso existen tres respuestas distintas cuando la entrada no es cero. Al elevar cualquiera de ellas al cubo, su ángulo se multiplica por tres y las vueltas completas adicionales desaparecen, con lo que se recupera el número original. Cada raíz lleva el índice k y muestra su módulo y su ángulo polar tanto en radianes como en grados. No es necesario reducir todos los ángulos a un mismo intervalo: los ángulos coterminales describen el mismo punto y esta secuencia refleja directamente la construcción de De Moivre.

Interprete y compruebe los resultados rectangulares

Cada raíz polar de módulo rho y ángulo phi se convierte también a forma rectangular: la parte real es rho por el coseno de phi y la imaginaria es rho por el seno de phi. Así puede usar inmediatamente las respuestas en operaciones que esperan x + yi, sin perder los valores polares que revelan la simetría. Los restos de coma flotante muy cercanos a cero se normalizan y los números se redondean de forma determinista a doce decimales. Esto permite mostrar cero en lugar de un residuo trigonométrico diminuto sin modificar el método. Para verificar una respuesta, elévela al cubo mediante multiplicación compleja o eleve al cubo su módulo polar y triplique el ángulo. Debería recuperar las componentes iniciales dentro de la precisión normal de coma flotante. También puede comparar las tres salidas: sus módulos deben coincidir y los ángulos consecutivos deben diferir en 120 grados. El servicio es determinista, no usa red ni azar y cobra $0.002 por elemento de API; la versión de esta página ejecuta el mismo cálculo directamente.