Raízes cúbicas complexas

Esta calculadora encontra as três com a fórmula de De Moivre e apresenta cada resultado nas formas polar e retangular. Informe as componentes real e imaginária do número original para obter seu módulo e argumento principal, além do módulo, do ângulo em radianos e graus e das componentes de cada raiz. O zero é tratado explicitamente e retorna três raízes nulas coincidentes.

Informe o número complexo na forma retangular

Descreva o número como a + bi, colocando a no campo real e b no campo imaginário. As duas entradas podem ser positivas, negativas ou zero, mas precisam ser números finitos. Por exemplo, para 8 + 0i, informe 8 como parte real e 0 como parte imaginária; para -8i, use 0 e -8. Primeiro, a calculadora converte esse par para a forma polar. O módulo é a distância até a origem, calculada pela raiz quadrada da soma dos quadrados de a e b. O argumento principal é obtido pela arcotangente de dois argumentos, que mantém o quadrante correto em vez de perder informações de sinal. O ângulo de entrada aparece no ramo principal usual, entre pi negativo e pi positivo. O uso de componentes retangulares elimina ambiguidades sobre convenções de ângulo e facilita valores localizados sobre os eixos. Se as duas componentes forem zero, o argumento será apresentado como zero por convenção prática, embora geometricamente o argumento de zero seja indefinido. Nesse caso, as três raízes exibidas representam o mesmo zero.

Como a fórmula de De Moivre gera três raízes

Escreva a entrada como r multiplicado pela exponencial de i theta, sendo r o módulo e theta o argumento principal. Pela fórmula de De Moivre, cada raiz cúbica tem módulo igual à raiz cúbica real de r. Os ângulos possíveis são theta dividido por três, theta mais dois pi dividido por três e theta mais quatro pi dividido por três. De modo equivalente, a calculadora usa (theta + 2 pi k) / 3 para k igual a 0, 1 e 2. Acrescentar uma volta completa antes da divisão produz raízes separadas por 120 graus, razão pela qual há três respostas distintas para qualquer entrada diferente de zero. Ao elevar uma dessas raízes ao cubo, seu ângulo é multiplicado por três; as voltas completas adicionais desaparecem e o número original é recuperado. Cada resultado recebe o índice k e mostra seu módulo polar e seu ângulo em radianos e graus. Não é necessário restringir os ângulos a um único intervalo, pois ângulos coterminais representam o mesmo ponto, e a sequência apresentada evidencia a construção direta de De Moivre.

Interprete e confira os resultados retangulares

Cada raiz polar de módulo rho e ângulo phi também é convertida para a forma retangular: a parte real é rho vezes o cosseno de phi, e a parte imaginária é rho vezes o seno de phi. Assim, você pode usar imediatamente as respostas em cálculos que esperam x + yi, sem perder os valores polares que revelam a simetria. Pequenos resíduos de ponto flutuante próximos de zero são normalizados, e os números exibidos são arredondados deterministicamente para doze casas decimais. Isso mantém respostas conhecidas legíveis, exibindo zero no lugar de um artefato trigonométrico minúsculo, sem alterar o método. Para conferir uma raiz, eleve o valor complexo retangular ao cubo por multiplicação complexa ou eleve seu módulo polar ao cubo e triplique o ângulo. As componentes originais devem reaparecer dentro da precisão normal de ponto flutuante. Compare também as três saídas: os módulos devem ser iguais e os ângulos consecutivos devem diferir em 120 graus. O serviço é determinístico, não usa rede nem aleatoriedade e cobra US$ 0,002 por item de API; a versão da página executa diretamente o mesmo cálculo.