ForHosting KIT · 開発者向けツール

2×2行列の特性多項式計算

この計算ツールは、2×2行列の4つの数値要素を受け取り、lambdaの降べき順にモニック多項式の係数を返します。トレースと行列式を計算し、lambdaの2乗からトレースとlambdaの積を引き、行列式を加える恒等式を適用します。結果は常に決定的であり、課題の確認、固有値計算、係数配列を必要とするプログラムに利用できます。

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特性多項式を作る仕組み

1行目がa, b、2行目がc, dである行列について、特性多項式はlambda倍の単位行列から元の行列を引いた行列の行列式として得られます。この2×2の行列式を展開すると、(lambda minus a)(lambda minus d) minus bcとなります。同じ次数の項をまとめると、lambdaの2乗 minus (a plus d) lambda plus (ad minus bc)です。a plus dがトレース、ad minus bcが行列式です。この計算ツールは両方の不変量を示し、2次の項から定数項までの順で[1, トレースの符号を反転した値, 行列式]を返します。この順序は、多項式処理ツールや数値計算ライブラリで一般的な表現と一致します。特性多項式はモニックなので、先頭係数は必ず1です。これを求めるために固有値を近似する必要はなく、後で得られる根が異なる場合、重なる場合、実数の場合、複素数の場合のいずれでも計算は成立します。表示用の式にも同じ計算値を使うため、人が読む式とプログラム向けの係数を容易に照合できます。

行列の入力方法と結果の読み方

行はちょうど2つとし、各行に有限の数値をちょうど2つ入力してください。たとえば[[4, 1], [2, 3]]のトレースは7、行列式は10なので、係数配列は[1, -7, 10]です。これはlambdaの2乗 minus 7 lambda plus 10を表します。第1係数はlambdaの2乗、第2係数はlambda、第3係数は定数項に対応します。この規則を明示することで、係数を昇べき順と誤認する実装上の問題を防げます。ゼロ、負数、小数は通常のJavaScript数値として使用できます。一方、文字ラベル、数値文字列、行の不足、余分な列、無限大、NaNは暗黙変換せずに拒否します。拒否された要求は入力不正エラーを返し、代替値を勝手に補いません。APIで成功した要求の料金は1項目あたり$0.002で、ブラウザー版も同じ決定的な計算関数を実行します。処理対象は固定サイズであるため、大きなデータセットに応じて作業量が増えることも、外部サービスに依存することもありません。

固有値計算や代数処理での係数の活用

特性多項式は、行列と固有値を結び付ける役割を果たします。返された多項式をゼロと置けば特性方程式になり、その2次方程式を解けば固有値が得られます。この機能は意図的に係数の出力までに限定しているため、既存の求根器、数式処理パッケージ、授業用の解法手順と組み合わせやすくなっています。トレースと行列式は、結果を素早く検算するためにも使えます。代数的重複度を含めた2つの固有値の和はトレースに等しく、積は行列式に等しくなる必要があります。行列式がゼロなら定数係数もゼロであり、ゼロが固有値です。トレースがゼロなら1次項が消えます。三角行列では、2つの対角要素を使って多項式を因数分解できるため、すぐに確認できます。自動処理では係数配列を正式な結果として保存し、整形済みの式を読みやすい補助情報として扱ってください。学習時には因数分解の前に、返されたトレースと行列式を別々の手計算と比較することをおすすめします。特にlambdaの係数に付く負号の見落としを、近似根に頼らず特定できます。

活用例

線形代数の課題を確認

固有値を解く前に、トレース、行列式、順序付きの特性多項式係数を検算できます。

多項式ソルバーへ入力

降べき順の係数配列を、2次方程式または一般の多項式処理ルーチンへ直接渡せます。

行列ソフトウェアを検証

決定的で小さな2×2の例を、固有値、行列式、数式処理コードのテストデータとして使えます。

よくある質問

どの特性多項式の規約を使用しますか？

det(lambda I minus A)を使用し、lambdaの2乗 minus trace(A) lambda plus det(A)を得ます。

係数はどの順序で返されますか？

lambdaの2乗、lambda、定数項という降べき順で返されます。

固有値も同時に計算しますか？

いいえ。後続の固有値計算または2次方程式の解法に必要な係数を返します。

小数や負の値を行列に入力できますか？

はい。ゼロ、小数、負数を含む任意の有限数を各要素に入力できます。

行列の大きさが正しくない場合はどうなりますか？

この機能は2×2行列だけを受け付けるため、入力不正エラーとして要求を拒否します。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-characteristic-polynomial-2x2

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-characteristic-polynomial-2x2 \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"matrix":[[4,1],[2,3]]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-characteristic-polynomial-2x2", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "matrix": [
      [
        4,
        1
      ],
      [
        2,
        3
      ]
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-characteristic-polynomial-2x2",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "matrix": [
        [
            4,
            1
        ],
        [
            2,
            3
        ]
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-characteristic-polynomial-2x2", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"matrix":[[4,1],[2,3]]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[4,1],[2,3]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-characteristic-polynomial-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "matrix": [
    [
      4,
      1
    ],
    [
      2,
      3
    ]
  ]
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.matrix_characteristic_polynomial_2x2",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

KITの完全なドキュメントを見る →