Projektilzeit bei einer Höhe

Geben Sie Startgeschwindigkeit, Abwurfwinkel, Zielhöhe und bei Bedarf die örtliche Gravitationsbeschleunigung ein. Das Ergebnis unterscheidet den Durchgang im Aufstieg vom Durchgang im Abstieg und nennt außerdem die maximale Höhe der Flugbahn. Liegt die gewünschte Höhe oberhalb des Scheitelpunkts, meldet der Rechner einen verständlichen Fehler, statt imaginäre oder irreführende Zeiten auszugeben. Das Werkzeug eignet sich für den Physikunterricht, zur Prüfung von Flugbahnen und für reproduzierbare technische Berechnungen.

Geben Sie ein widerspruchsfreies Wurfszenario ein

Geben Sie die Startgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde, den Winkel in Grad über der Horizontalen und die Zielhöhe in Metern über dem Startpunkt an. Als Nullniveau der Höhe gilt somit die Startposition; die Angabe ist keine Höhe über dem Meeresspiegel, sofern der Start nicht genau dort erfolgt. Die Gravitation wird in Metern pro Quadratsekunde angegeben und entspricht standardmäßig der Normfallbeschleunigung der Erde von 9.80665. Sie können diesen Wert ersetzen, wenn eine Aufgabe einen anderen vorgibt oder Sie eine andere Umgebung modellieren. Verwenden Sie für alle Größen die genannten Einheiten, denn der Rechner wandelt Kilometer pro Stunde, Fuß, Radiant oder andere Konventionen nicht stillschweigend um. Der Startwinkel muss größer als null und darf höchstens neunzig Grad sein; Geschwindigkeit und Gravitation müssen positiv sein. Eine Zielhöhe von null ist zulässig und liefert den Startzeitpunkt als ersten Durchgang. Diese Festlegungen machen die Eingabe eindeutig und beziehen beide Zeiten auf dasselbe physikalische Bezugssystem. Luftwiderstand, Auftrieb, Wind, Erdkrümmung und eine veränderliche Gravitation gehören nicht zu diesem idealen Wurfmodell.

So werden die beiden Durchgangszeiten bestimmt

Zunächst wird die Startgeschwindigkeit mithilfe des Sinus des Startwinkels in ihre vertikale Komponente zerlegt. Die vertikale Position folgt dann der Gleichung für eine konstante Beschleunigung: Die Höhe ist gleich der vertikalen Geschwindigkeit mal der Zeit, abzüglich der Hälfte des Produkts aus Gravitation und Zeitquadrat. Wird diese Position mit der gewünschten Höhe gleichgesetzt, entsteht eine quadratische Gleichung. Ihre kleinere reelle Lösung ist die Aufstiegszeit, zu der das Projektil die Höhe erstmals im Steigen erreicht. Die größere reelle Lösung ist die Abstiegszeit, zu der es dieselbe Höhe nach dem Scheitelpunkt erneut durchläuft. Genau an der maximalen Höhe fallen beide Lösungen zusammen, weil das Projektil dieses Niveau nur in einem Augenblick berührt; beide Ergebnisfelder zeigen daher dieselbe Zeit. Die ausgegebene Maximalhöhe wird aus derselben vertikalen Komponente und Gravitation berechnet und dient als hilfreiche Plausibilitätsprüfung. Die Ergebnisse werden mit stabiler Genauigkeit gerundet, damit die JSON-Ausgabe reproduzierbar bleibt; intern bleibt die übliche Gleitkommagenauigkeit erhalten. In diesem idealisierten Modell beeinflusst die horizontale Geschwindigkeit den Zeitpunkt des Durchgangs durch ein bestimmtes Höhenniveau nicht.

Deuten Sie unerreichbare Höhen und nutzen Sie das Ergebnis

Ein realer Durchgang existiert nur, wenn die Diskriminante der quadratischen Gleichung null oder positiv ist. Übersteigt die Zielhöhe die mit der gewählten Geschwindigkeit, dem Winkel und der Gravitation mögliche Maximalhöhe, wird die Diskriminante negativ; die gesuchten Zeiten wären dann komplex und nicht physikalisch. Der Rechner wertet diesen Fall als ungültige Eingabe und nennt die maximal erreichbare Höhe, damit Sie das Szenario gezielt anpassen können. Sie können die Geschwindigkeit erhöhen, einen steileren Winkel wählen, die Zielhöhe senken oder die in Ihrer Aufgabe vorgegebene Gravitation verwenden. Liegen gültige Zeiten vor, nutzen Sie den Aufstiegswert für Ereignisse vor dem Scheitelpunkt und den Abstiegswert für spätere Ereignisse, etwa zum Auslösen eines Sensors, zum Vergleich von Videobildern oder zur Kontrolle einer Lehrbuchlösung. Beachten Sie, dass die Zeiten den Massenschwerpunkt des Projektils bei konstanter, abwärts gerichteter Gravitation beschreiben. Ein Ball mit erheblichem Luftwiderstand, eine angetriebene Rakete oder ein von einer Plattform zu einem tieferen Niveau geworfenes Objekt erfordern ein umfassenderes Bewegungsmodell. Über die API kostet jede Berechnung $0.002; die deterministische Antwort eignet sich für automatisierte Arbeitsblätter und Simulationsprüfungen.