ForHosting KIT · أدوات المطورين

جميع الجذور الأولية بترديد n

تعيد حاسبة جميع الجذور الأولية بترديد n المجموعة الكاملة والمرتبة من مولدات زمرة الوحدات الضربية بترديد العدد الصحيح n.

● Betaمجاني · داخل متصفحك

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

تحدد أولاً هل ينتمي الترديد إلى عائلة تقبل جذوراً أولية، ثم تحسب دالة أويلر phi، وتعثر على مولد واحد، وتشتق منه سائر المولدات. تتضمن الاستجابة الترديد وقيمة phi وعدد الجذور وقائمتها الكاملة. تنتج القيم الأصغر من اثنين والترديدات التي لا تملك جذراً أولياً خطأ واضحاً بدلاً من إجابة فارغة أو مضللة. وتتيح الحسابات الحتمية نفسها فحوصاً سريعة وأتمتة قابلة لإعادة الإنتاج عبر API مقابل $0.002 لكل طلب ناجح.

ما الذي تعنيه القائمة الكاملة للجذور الأولية

الجذر الأولي بترديد n هو باقٍ تولد قواه المتتابعة كل فئة بواقٍ قابلة للعكس بترديد n. والكلمة الحاسمة هي «كل»: فقد يكون عدد ما أولياً نسبياً مع n ومع ذلك يدور داخل زمرة جزئية حقيقية فقط، ولذلك فكونه وحدة شرط لازم لكنه غير كافٍ. تعيد هذه القدرة جميع الممثلين الموجبين بين 1 و n ناقص 1 ممن تساوي رتبتهم الضربية phi(n) تماماً. فعند الترديد 14 مثلاً، تضم زمرة الوحدات ستة عناصر بينما تحتوي مجموعة المولدات الكاملة على باقيين. تعرض الاستجابة n ودالة أويلر phi وعدد الجذور الأولية والمصفوفة primitive_roots مرتبة عددياً. ويوفر العدد فحصاً مفيداً للاتساق: كلما وجدت الجذور الأولية كان عددها phi(phi(n)). أما الحالة الخاصة 2 فلها الجذر الوحيد 1 على نحو صحيح. ويرفض صراحة أي ترديد لا يملك مولداً لزمرة وحداته كلها، لأن القائمة الفارغة قد توحي خطأ بأن البحث لم يجد شيئاً بدلاً من بيان أن الزمرة غير دورية.

كيفية التحقق من الوجود ومن كل مولد

لا توجد الجذور الأولية لكل ترديد. تنص مبرهنة التصنيف على أن الزمرة الضربية بترديد n تكون دورية بالضبط عندما يكون n مساوياً 2 أو 4 أو قوة لعدد أولي فردي أو ضعفي قوة لعدد أولي فردي. تحلل الحاسبة n إلى عوامله وتتحقق من هذا الشرط البنيوي قبل البحث. وللترديد المقبول تحسب phi(n)، وتحلل رتبة الزمرة، وتختبر الوحدات المرشحة باستعمال الأس المعياري. تكون رتبة المرشح g مساوية تماماً phi(n) إذا لم تكن قيمة g مرفوعة إلى phi(n) مقسومة على q مطابقة لـ 1 بترديد n، وذلك لكل قاسم أولي متميز q للعدد phi(n). وبعد معرفة g واحد، تكون جميع الجذور هي القوى g مرفوعة إلى k حيث يكون k أولياً نسبياً مع phi(n). تعدد الخوارزمية تلك الأسس وتحسب بواقيها بدقة ثم ترتب النتيجة. ولا تستخدم عشوائية أو جداول خارجية أو شبكة أو وقتاً حالياً، لذا تعطي المدخلات المتطابقة المحتوى العددي نفسه دائماً.

استخدام النتيجة في الرياضيات والبرمجيات

تفيد قوائم المولدات الكاملة عندما تتطلب المسألة أكثر من أصغر جذر أولي. يستطيع الدارسون مقارنة البواقي المعادة بجداول القوى المحسوبة يدوياً وفهم سبب مساواة عدد المولدات للقيمة phi(phi(n)). ويمكن للمدرسين إعداد مفاتيح إجابة تشمل كل جواب صحيح بدلاً من قبول مولد واحد مختار. ويستطيع مطورو البرمجيات إنشاء بيانات اختبار لدوال الرتبة الضربية، والتحقق من شيفرة التعداد، أو اختيار مولد من عدة مولدات وفق قاعدة تطبيقية مستقلة. كما تفيد حالات الخطأ تعليمياً: فتجربة الترديدين 8 و15 تبين أن كثيراً من الأعداد المركبة المألوفة تملك زمر وحدات غير دورية رغم احتوائها على بواقٍ كثيرة قابلة للعكس. يقتصر الإدخال على 10,000 لأن الاستجابة المطلوبة شاملة وقد تتضمن جذوراً كثيرة؛ فيحافظ الحد على قابلية توقع العرض وحجم API وزمن التنفيذ. أدخل n عدداً صحيحاً أو سلسلة عشرية بسيطة. يكلف كل طلب ناجح $0.002، وتوضح أخطاء التحقق المدخلات غير المدعومة أو غير السليمة بجلاء.

حالات الاستخدام

التحقق من تمرين في نظرية الأعداد

قارن الحساب اليدوي بالمجموعة الكاملة والمرتبة من المولدات بترديد n.

إنشاء بيانات اختبار حتمية

أنشئ قيماً متوقعة دقيقة للشيفرة التي تحسب الرتب الضربية أو زمر الوحدات الدورية.

تعليم زمر الوحدات الدورية وغير الدورية

قارن الترديدات المقبولة بالقيم التي لا تملك جذراً أولياً واشرح مبرهنة التصنيف.

الأسئلة الشائعة

ما تكلفة طلب API؟

يكلف طلب API الناجح $0.002. ويعيد الإدخال غير الصالح خطأ بدلاً من قائمة جذور.

ما الترديدات التي تملك جذوراً أولية؟

هي بالضبط 2 و4 وقوى الأعداد الأولية الفردية وضعف تلك القوى. وترفض سائر الترديدات لأن زمر وحداتها غير دورية.

لماذا قد لا يكون الباقي الأولي نسبياً جذراً أولياً؟

الأولية النسبية تجعل الباقي وحدة فحسب. أما الجذر الأولي فيجب أن يملك أيضاً أكبر رتبة ضربية ممكنة، وهي phi(n).

كم جذراً أولياً ينبغي أن تتضمن النتيجة؟

عندما توجد الجذور يكون عددها phi(phi(n)). وتعرض الاستجابة العدد المحسوب إلى جانب المصفوفة.

لماذا يقتصر n على 10,000؟

يسرد الخرج كل مولد، ولذلك يزداد حجمه مع n. يجعل الحد الحساب الشامل وحجم الاستجابة قابلين للتوقع.

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/all-primitive-roots

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/all-primitive-roots \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":14}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/all-primitive-roots", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 14
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/all-primitive-roots",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 14
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/all-primitive-roots", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":14}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":14}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/all-primitive-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "n": 14
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.all_primitive_roots",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الحدود

max_n 10000

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←