Calculadora de assíntotas verticais de funções racionais

Informe cada polinômio como coeficientes em potências decrescentes. A calculadora encontra os zeros reais do denominador, compara suas multiplicidades com as do numerador e exclui os fatores totalmente cancelados. O resultado traz equações prontas, como x = 2, e detalhes de multiplicidade que tornam clara cada decisão.

Informe a função racional como listas de coeficientes

Represente o numerador e o denominador separadamente, escrevendo os coeficientes da maior potência de x até o termo constante. Por exemplo, x ao quadrado menos x menos 2 é [1, -1, -2], enquanto x mais 1 é [1, 1]. Inclua zeros para potências ausentes: x ao cubo menos 4x deve ser informado como [1, 0, -4, 0]. Essa convenção elimina ambiguidades de sinais, potências, multiplicações e parênteses, portanto a mesma entrada funciona de modo confiável no navegador e pela API. O denominador deve ser não constante e seu primeiro coeficiente não pode ser zero. As duas listas aceitam números finitos e polinômios de grau até doze, o que abrange exercícios escolares, universitários e de pré-processamento simbólico comuns. Você não precisa fatorar nenhum polinômio antes. A calculadora faz o isolamento das raízes reais e a análise de cancelamento diretamente a partir dos coeficientes. Caso a expressão racional tenha coeficientes decimais, informe-os como números JSON comuns; o resultado é normalizado para valores estáveis e legíveis sem alterar o teste matemático da assíntota.

Entenda por que zeros cancelados não são assíntotas

Uma assíntota vertical ocorre em um zero real do denominador somente quando pelo menos uma cópia desse fator permanece após o cancelamento dos fatores comuns. Suponha que numerador e denominador contenham x menos 3 uma vez. A expressão original não está definida em x = 3, mas o cancelamento deixa um furo removível, e não uma assíntota vertical. A multiplicidade é importante quando um fator se repete. Se o denominador contém (x menos 3) ao quadrado e o numerador contém x menos 3 uma vez, uma cópia permanece sob a barra da fração, portanto x = 3 ainda é uma assíntota vertical. A calculadora faz mais do que verificar se o numerador é zero em cada raiz do denominador. Ela determina quantas vezes a raiz ocorre nos dois polinômios, cancela a menor multiplicidade e mantém a reta vertical apenas se a multiplicidade do denominador for maior. Raízes totalmente removidas aparecem em cancelled_zeros; as restantes aparecem em vertical_asymptotes e na lista compacta equations. Raízes não reais não representam retas verticais em um gráfico real e são omitidas.

Leia e utilize as retas verticais retornadas

A lista equations é a resposta mais rápida: cada item é uma equação de reta vertical no formato x = a. O campo count informa quantas assíntotas verticais distintas foram encontradas. Para uma conferência mais profunda, cada registro de vertical_asymptotes inclui a coordenada numérica x, a equação, a multiplicidade original da raiz no denominador e a multiplicidade retirada pelo cancelamento. Um cancelled_multiplicity igual a zero significa que o numerador não removeu esse fator. Um valor positivo indica que houve cancelamento, mas pelo menos uma cópia permaneceu no denominador. A lista separada cancelled_zeros registra as raízes que desapareceram por completo do denominador reduzido, facilitando a distinção entre furos e assíntotas. Uma lista equations vazia é um resultado matemático válido: o denominador não tem zeros reais ou todos eles foram totalmente cancelados. Programas gráficos, sistemas de ensino e corretores podem usar diretamente os valores numéricos de x, enquanto materiais didáticos podem exibir as equações. O algoritmo é determinístico, não faz solicitações de rede e gera o mesmo resultado para listas de coeficientes idênticas.