Rechner für senkrechte Asymptoten rationaler Funktionen

Geben Sie jedes Polynom durch seine Koeffizienten in absteigender Potenzfolge ein. Der Rechner bestimmt die reellen Nennernullstellen, vergleicht ihre Vielfachheiten mit denen des Zählers und schließt vollständig gekürzte Faktoren aus. Das Ergebnis enthält direkt nutzbare Gleichungen wie x = 2 sowie Vielfachheitsangaben, die jede Entscheidung nachvollziehbar machen.

Geben Sie die rationale Funktion als Koeffizientenlisten ein

Stellen Sie Zähler und Nenner getrennt dar und schreiben Sie die Koeffizienten von der höchsten Potenz von x bis zum konstanten Glied. Beispielsweise wird x zum Quadrat minus x minus 2 als [1, -1, -2] und x plus 1 als [1, 1] eingegeben. Fügen Sie für fehlende Potenzen Nullen ein: x hoch drei minus 4x muss als [1, 0, -4, 0] angegeben werden. Diese Konvention beseitigt Mehrdeutigkeiten bei Vorzeichen, Potenzen, Multiplikationen und Klammern. Dieselbe Eingabe funktioniert deshalb zuverlässig im Browser und über die API. Der Nenner darf nicht konstant sein, und sein erster Koeffizient muss ungleich null sein. Beide Listen akzeptieren endliche Zahlen und Polynome bis zum Grad zwölf. Damit werden typische Aufgaben aus Schule, Hochschule und symbolischer Vorverarbeitung abgedeckt. Sie müssen die Polynome nicht vorher faktorisieren. Der Rechner isoliert die reellen Nullstellen und untersucht Kürzungen unmittelbar anhand der Koeffizienten. Dezimalkoeffizienten geben Sie als gewöhnliche JSON-Zahlen ein; die Ausgabe wird stabil und lesbar aufbereitet, ohne die mathematische Asymptotenprüfung zu verändern.

Warum vollständig gekürzte Nullstellen keine Asymptoten sind

Eine senkrechte Asymptote liegt an einer reellen Nennernullstelle nur dann vor, wenn nach dem Kürzen gemeinsamer Faktoren mindestens eine Ausprägung dieses Faktors erhalten bleibt. Angenommen, Zähler und Nenner enthalten jeweils einmal x minus 3. Der ursprüngliche Term ist bei x = 3 nicht definiert, doch nach dem Kürzen bleibt eine hebbare Lücke und keine senkrechte Asymptote. Bei wiederholten Faktoren ist die Vielfachheit entscheidend. Enthält der Nenner (x minus 3) zum Quadrat und der Zähler x minus 3 einmal, bleibt ein Faktor im Nenner stehen; somit ist x = 3 weiterhin eine senkrechte Asymptote. Der Rechner prüft daher nicht bloß, ob der Zähler an jeder Nennernullstelle ebenfalls null ist. Er ermittelt die Vielfachheit in beiden Polynomen, kürzt die kleinere Anzahl und behält die Gerade nur dann bei, wenn die Nenner-Vielfachheit größer ist. Vollständig entfernte Nullstellen erscheinen unter cancelled_zeros, verbleibende unter vertical_asymptotes sowie in der kompakten Liste equations. Nicht reelle Nennernullstellen beschreiben im reellen Koordinatensystem keine senkrechten Geraden und werden ausgelassen.

Lesen und verwenden Sie die ausgegebenen Geraden

Die Liste equations liefert die kürzeste Antwort: Jeder Eintrag ist eine Geradengleichung der Form x = a. Das Feld count nennt die Anzahl unterschiedlicher senkrechter Asymptoten. Für eine genauere Prüfung enthält jeder Datensatz in vertical_asymptotes den numerischen x-Wert, die Gleichung, die ursprüngliche Vielfachheit der Nennernullstelle und die beim Kürzen entfernte Vielfachheit. Ein cancelled_multiplicity von null bedeutet, dass der Zähler diesen Faktor nicht entfernt hat. Ein positiver Wert zeigt eine teilweise Kürzung an, bei der mindestens ein Faktor im Nenner übrig blieb. Die separate Liste cancelled_zeros führt Nullstellen auf, die aus dem gekürzten Nenner vollständig verschwunden sind, und unterscheidet so hebbare Lücken von Asymptoten. Eine leere Liste equations ist ein gültiges mathematisches Ergebnis: Der Nenner besitzt entweder keine reellen Nullstellen oder alle wurden vollständig mit dem Zähler gekürzt. Zeichenprogramme, Lernsysteme und automatische Korrekturen können die numerischen x-Werte direkt nutzen; Arbeitsblätter und Erklärungen können die Gleichungen anzeigen. Der Algorithmus ist deterministisch, verwendet kein Netzwerk und erzeugt für identische Koeffizientenlisten stets dasselbe Ergebnis.