Calculadora de equação diferencial separável

Informe a constante k, uma condição inicial y(x0) = y0 e o ponto em que você deseja avaliar a solução. A calculadora separa as variáveis, identifica a família exponencial geral, aplica a condição inicial e retorna um valor numérico estável no ponto solicitado. Ela é útil para conferir exercícios e modelar quantidades cuja taxa instantânea de variação é proporcional ao valor atual.

Reconheça a equação separável padrão

A calculadora foi criada para a equação comum dy/dx = ky, em que k é uma constante real fixa. Ela aparece sempre que uma quantidade varia a uma taxa proporcional ao seu valor presente: crescimento populacional irrestrito, decaimento radioativo, saldos com capitalização contínua, remoção de primeira ordem e diferenças idealizadas de resfriamento são exemplos conhecidos. A equação é separável porque todos os fatores com y podem ser levados para um lado e todos os fatores com x para o outro, produzindo dy/y = k dx quando y não é zero. A solução nula também é preservada pela condição inicial y0 = 0. Essa forma específica fornece uma resposta exata e determinística, e não uma aproximação numérica por etapas. Informe k diretamente, inclusive um valor negativo para decaimento ou zero para uma solução constante. Depois, forneça x0 e y0 como o ponto conhecido na curva da solução. O solucionador não aceita uma expressão de derivada arbitrária, coeficientes variáveis, termos forçantes nem equações que apenas se pareçam com essa forma após uma substituição complexa.

Da separação à solução particular

A integração da equação separada resulta em ln|y| = kx mais uma constante de integração. Ao exponenciar, o sinal e o fator exponencial positivo são incorporados a uma única constante arbitrária C; portanto, a família geral é y = C exp(kx). A aplicação de y(x0) = y0 determina C = y0 exp(-kx0). O mesmo resultado fica mais claro como y(x) = y0 exp(k(x - x0)), que é a solução particular apresentada pela ferramenta. Essa forma deslocada é conveniente porque substituir x0 faz a exponencial valer um e recupera y0 imediatamente. Ela também evita exibir separadamente um valor possivelmente incômodo de C. Se y0 for zero, a fórmula retorna corretamente a solução de equilíbrio y = 0, embora a divisão por y durante a separação informal a exclua. A calculadora mostra a separação, a família geral, a fórmula particular e a avaliação para que você possa acompanhar o raciocínio. Todos os cálculos usam aritmética de ponto flutuante do JavaScript, seguida de arredondamento para exibição na precisão escolhida.

Avalie a solução e interprete o resultado

Escolha o x de destino independentemente do ponto inicial; ele pode ser anterior, igual ou posterior a x0. O solucionador calcula o expoente adimensional k(x - x0), avalia a exponencial, multiplica por y0 e arredonda o resultado exibido entre zero e quinze casas decimais. Um k positivo faz a magnitude crescer quando x aumenta, enquanto um k negativo a faz decair em direção a zero. Retroceder a partir de x0 inverte essas tendências. O sinal de uma solução não nula vem de y0, pois um fator exponencial é sempre positivo; assim, o modelo nunca cruza zero. Verifique a consistência das unidades: se x estiver em horas, k deverá estar em horas inversas, e a saída y manterá as unidades de y0. Expoentes muito grandes podem ultrapassar a faixa numérica finita; a calculadora rejeita esses casos em vez de retornar um infinito enganoso. Use a fórmula exata para análise e o valor avaliado para uma previsão ou conferência específica. Funções separáveis arbitrárias f(x)g(y) exigem integração simbólica adicional e estão fora do escopo deliberadamente limitado desta calculadora.