Calculadora de ecuaciones diferenciales separables

Introduzca la constante k, una condición inicial y(x0) = y0 y el punto donde desea evaluar la solución. La calculadora separa las variables, identifica la familia exponencial general, aplica la condición inicial y devuelve un valor numérico estable en el punto solicitado. Resulta útil para comprobar ejercicios y modelar cantidades cuya tasa instantánea de cambio es proporcional a su valor actual.

Reconozca la ecuación separable estándar

La calculadora está diseñada para la ecuación habitual dy/dx = ky, donde k es una constante real fija. Aparece cuando una cantidad cambia a una velocidad proporcional a su valor presente: crecimiento poblacional sin restricciones, desintegración radiactiva, saldos con capitalización continua, eliminación de primer orden y diferencias de enfriamiento idealizadas son ejemplos conocidos. La ecuación es separable porque todos los factores que contienen y pueden trasladarse a un lado y los que contienen x al otro, lo que produce dy/y = k dx cuando y no es cero. La solución nula también se conserva mediante la condición inicial y0 = 0. Este formato específico permite una respuesta exacta y determinista, no una aproximación numérica por pasos. Introduzca k directamente, con un valor negativo para decrecimiento o cero para una solución constante. Después indique x0 e y0 como el punto conocido de la curva. No se admiten expresiones derivadas arbitrarias, coeficientes variables, términos externos ni ecuaciones que solo adopten esta forma tras una sustitución compleja.

De la separación a la solución particular

Al integrar la ecuación separada se obtiene ln|y| = kx más una constante de integración. Al aplicar la exponencial, el signo y el factor exponencial positivo quedan incluidos en una única constante arbitraria C, por lo que la familia general es y = C exp(kx). La condición y(x0) = y0 determina C = y0 exp(-kx0). El mismo resultado se expresa con más claridad como y(x) = y0 exp(k(x - x0)), que es la solución particular mostrada por esta herramienta. Esta forma desplazada resulta práctica porque al sustituir x0 la exponencial vale uno y se recupera y0. Además, evita mostrar por separado un valor de C potencialmente incómodo. Si y0 es cero, la fórmula devuelve correctamente la solución de equilibrio y = 0, aunque la división por y durante la separación informal la excluiría. La calculadora presenta la separación, la familia general, la fórmula particular y la evaluación para que usted pueda seguir el razonamiento. Todos los cálculos utilizan coma flotante de JavaScript y después se redondean para mostrarse con la precisión elegida.

Evalúe e interprete la solución

Elija el valor objetivo x con independencia del punto inicial; puede ser anterior, igual o posterior a x0. El solucionador calcula el exponente adimensional k(x - x0), evalúa la exponencial, multiplica por y0 y redondea el resultado mostrado entre cero y quince decimales. Un k positivo hace crecer la magnitud cuando x aumenta, mientras que uno negativo la hace decrecer hacia cero. Retroceder desde x0 invierte esas tendencias. El signo de una solución no nula procede de y0 porque el factor exponencial siempre es positivo, así que este modelo nunca cruza cero. Compruebe la coherencia de las unidades: si x se mide en horas, k debe expresarse en horas inversas y la salida y conserva las unidades de y0. Los exponentes extremadamente grandes pueden superar el intervalo numérico finito; la calculadora rechaza esos casos en lugar de devolver un infinito engañoso. Utilice la fórmula exacta para el análisis y el valor evaluado para una predicción o comprobación concreta. Las funciones separables arbitrarias f(x)g(y) requieren integración simbólica adicional y quedan fuera del alcance delimitado de esta calculadora.