Calculateur d’équation différentielle séparable

Indiquez la constante k, une condition initiale y(x0) = y0 et le point où vous souhaitez évaluer la solution. Le calculateur sépare les variables, détermine la famille exponentielle générale, applique la condition initiale et renvoie une valeur numérique stable au point demandé. Il permet de vérifier des exercices et de modéliser des quantités dont le taux de variation instantané est proportionnel à leur valeur actuelle.

Reconnaissez l’équation séparable standard

Le calculateur est conçu pour l’équation courante dy/dx = ky, où k est une constante réelle fixe. Elle apparaît lorsqu’une quantité évolue à un rythme proportionnel à sa valeur présente : croissance démographique sans contrainte, décroissance radioactive, soldes à capitalisation continue, élimination du premier ordre et écarts de refroidissement idéalisés en sont des exemples classiques. L’équation est séparable, car tous les facteurs contenant y peuvent être placés d’un côté et ceux contenant x de l’autre, ce qui donne dy/y = k dx lorsque y est non nul. La solution nulle est également conservée grâce à la condition initiale y0 = 0. Cette forme ciblée fournit une réponse exacte et déterministe, et non une approximation numérique par pas. Saisissez directement k, avec une valeur négative pour une décroissance ou zéro pour une solution constante. Indiquez ensuite x0 et y0 comme point connu de la courbe. Le solveur n’accepte ni expression de dérivée arbitraire, ni coefficient variable, ni terme de forçage, ni équation qui ne prendrait cette forme qu’après une substitution complexe.

De la séparation à la solution particulière

L’intégration de l’équation séparée donne ln|y| = kx plus une constante d’intégration. Après exponentiation, le signe et le facteur exponentiel positif sont absorbés dans une constante arbitraire unique C ; la famille générale est donc y = C exp(kx). L’application de y(x0) = y0 détermine C = y0 exp(-kx0). Le même résultat s’écrit plus clairement y(x) = y0 exp(k(x - x0)), qui est la solution particulière présentée par cet outil. Cette forme décalée est pratique : en remplaçant x par x0, l’exponentielle vaut immédiatement un et l’on retrouve y0. Elle évite aussi d’afficher séparément une valeur de C parfois peu commode. Si y0 vaut zéro, la formule renvoie correctement la solution d’équilibre y = 0, même si la division par y lors de la séparation informelle l’exclurait. Le calculateur affiche la séparation, la famille générale, la formule particulière et l’évaluation afin que vous puissiez suivre le raisonnement. Tous les calculs reposent sur l’arithmétique à virgule flottante de JavaScript, puis sur un arrondi d’affichage selon la précision choisie.

Évaluez la solution et interprétez le résultat

Choisissez la valeur cible x indépendamment du point initial ; elle peut être antérieure, égale ou postérieure à x0. Le solveur calcule l’exposant sans dimension k(x - x0), évalue l’exponentielle, multiplie par y0 et arrondit le résultat affiché de zéro à quinze décimales. Un k positif fait croître la valeur absolue lorsque x augmente, tandis qu’un k négatif la fait décroître vers zéro. Revenir en arrière depuis x0 inverse ces tendances. Le signe d’une solution non nulle provient de y0, car un facteur exponentiel est toujours positif : ce modèle ne franchit donc jamais zéro. Vérifiez la cohérence des unités : si x est exprimé en heures, k doit être en heures inverses, tandis que la sortie y conserve les unités de y0. Les exposants extrêmement élevés peuvent dépasser la plage numérique finie ; le calculateur rejette ces cas au lieu de renvoyer un infini trompeur. Utilisez la formule exacte pour l’analyse et la valeur évaluée pour une prévision ou une vérification précise. Les fonctions séparables arbitraires f(x)g(y) exigent une intégration symbolique supplémentaire et dépassent le cadre volontairement limité de ce calculateur.