Calculadora de interpolação regressiva de Newton

Ela é especialmente conveniente quando o x desejado está perto da última linha, pois a fórmula se ancora nesse extremo e usa ali as diferenças regressivas. Informe pelo menos dois pontos ordenados e um x-alvo. A calculadora confere o espaçamento, constrói todas as diferenças finitas necessárias, avalia o polinômio de interpolação completo e retorna a estimativa e um cálculo termo a termo que você pode examinar.

Quando escolher a fórmula regressiva de Newton

Use a interpolação regressiva de Newton quando as observações estiverem tabeladas em valores de x igualmente espaçados e o alvo estiver próximo da última observação. Ela serve para estimar uma medição entre os dois últimos instantes de amostragem, preencher um valor ausente perto do fim de uma tabela numérica ou conferir um exercício baseado em diferenças regressivas. A proximidade do fim é uma vantagem de interpretação, não uma restrição rígida: o polinômio pode ser avaliado em outro ponto, embora outra representação costume ser mais clara perto do início. Forneça os pontos em ordem estritamente crescente de x. Cada x e y deve ser um número finito, e são necessários pelo menos dois pontos. A calculadora utiliza todos os pontos; portanto, n pontos definem um polinômio de grau máximo n menos um. Mais pontos não garantem melhora quando há ruído, pois o polinômio passa exatamente por cada observação e pode amplificar erros ou oscilar. Prefira uma tabela compacta e relevante ao alvo em vez de incluir observações distantes apenas para aumentar o grau.

Como é feito o cálculo das diferenças regressivas

Considere h como o espaçamento comum, x n como a coordenada final tabelada e p como a coordenada-alvo menos x n, dividida por h. A fórmula começa pelo último valor de y. Em seguida, soma p vezes a primeira diferença regressiva do extremo e depois p vezes p mais um, dividido por dois fatorial, vezes a segunda diferença. Cada termo posterior amplia esse produto crescente e o divide pelo fatorial correspondente. A calculadora constrói as diferenças finitas subtraindo repetidamente cada valor do valor imediatamente seguinte. O último elemento de cada linha de diferenças é o valor do extremo exigido pela fórmula. Na resposta, os termos aparecem a partir da ordem zero. Cada termo apresenta coeficiente, diferença regressiva e contribuição, permitindo que você reproduza a soma ou localize um erro aritmético manual. O p informado também mede a distância até a última linha em unidades do espaçamento: é zero no extremo e negativo para um alvo logo antes dele.

Como interpretar o resultado e evitar erros

A estimativa é a soma de todas as contribuições; o espaçamento é o passo validado entre valores consecutivos de x; e o grau é um a menos que o número de pontos. O x do extremo identifica a linha usada como âncora. Antes de interpretar a estimativa, confirme se o passo corresponde ao intervalo pretendido e se p tem o sinal e a magnitude esperados. Um valor absoluto de p muito grande indica extrapolação longe do extremo, situação em que o polinômio pode ficar instável. A calculadora rejeita coordenadas fora de ordem ou repetidas, valores não finitos e intervalos desiguais, em vez de aplicar silenciosamente uma fórmula inadequada. Pequenas diferenças de ponto flutuante entre passos decimais que deveriam ser iguais são toleradas, mas uma amostragem claramente irregular não é. A interpolação também pressupõe que um modelo polinomial suave seja apropriado; ela não prova que o processo real se comporte dessa forma. Em dados experimentais, compare o resultado com o conhecimento da área, limites de incerteza ou um ajuste de grau menor. Em tabelas exatas, o detalhamento dos termos mostra um caminho claro dos dados ao valor final.