Rechner für Newtons Rückwärtsinterpolation

Sie eignet sich besonders, wenn das gesuchte x nahe der letzten Zeile liegt, denn die Formel ist an diesem Endpunkt verankert und verwendet dort die Rückwärtsdifferenzen. Geben Sie mindestens zwei geordnete Punkte und einen Zielwert für x ein. Der Rechner prüft den Abstand, bildet alle erforderlichen endlichen Differenzen, wertet das vollständige Interpolationspolynom aus und liefert sowohl die Schätzung als auch eine von Ihnen prüfbare Berechnung für jeden einzelnen Term.

Wann Newtons Rückwärtsformel geeignet ist

Verwenden Sie Newtons Rückwärtsinterpolation, wenn Beobachtungen für äquidistante x-Werte tabelliert sind und das Ziel nahe der letzten Beobachtung liegt. Damit können Sie einen Messwert zwischen den letzten beiden Abtastzeitpunkten schätzen, einen fehlenden Wert nahe dem Tabellenende ergänzen oder eine Übungsaufgabe zu Rückwärtsdifferenzen prüfen. Die Nähe zum Ende ist ein praktischer Vorteil, keine starre Einschränkung: Das Polynom lässt sich auch an anderer Stelle auswerten, doch nahe dem Anfang kann eine andere Darstellung leichter verständlich sein. Geben Sie die Punkte in streng aufsteigender x-Reihenfolge an. Jedes x und y muss eine endliche Zahl sein; mindestens zwei Punkte sind erforderlich. Der Rechner nutzt sämtliche eingegebenen Punkte, sodass n Punkte ein Polynom mit höchstens dem Grad n minus eins bestimmen. Bei verrauschten Daten sind mehr Punkte nicht automatisch besser, weil das Interpolationspolynom jede Beobachtung exakt trifft und Messfehler verstärken oder zwischen den Zeilen schwingen kann. Wählen Sie daher eine kompakte, für das Ziel relevante Tabelle, statt entfernte Beobachtungen nur zur Erhöhung des Grades hinzuzufügen.

So funktioniert die Berechnung mit Rückwärtsdifferenzen

Bezeichnen wir den gemeinsamen Abstand mit h, die letzte tabellierte Koordinate mit x n und den Quotienten aus Zielkoordinate minus x n und h mit p. Die Formel beginnt mit dem letzten y-Wert. Danach addiert sie p mal die erste Rückwärtsdifferenz am Endpunkt und anschließend p mal p plus eins, geteilt durch zwei Fakultät, mal die zweite Rückwärtsdifferenz. Jeder weitere Term verlängert dieses aufsteigende Produkt und teilt es durch die entsprechende Fakultät. Der Rechner erzeugt endliche Differenzen, indem er wiederholt jeden Wert vom unmittelbar folgenden Wert abzieht. Der letzte Wert jeder Differenzzeile ist die von der Formel benötigte Endpunktdifferenz. In der Antwort stehen die Terme ab Ordnung null. Jeder Term nennt Koeffizient, Rückwärtsdifferenz und Beitrag, sodass Sie die Summe nachvollziehen oder einen Rechenfehler in einer manuellen Lösung finden können. Der ausgegebene Wert p zeigt außerdem den Abstand von der letzten Zeile in Einheiten des Tabellenabstands: Am Endpunkt ist p null, unmittelbar davor negativ.

Ergebnis lesen und typische Fehler vermeiden

Die Schätzung ist die Summe aller ausgegebenen Beiträge. Der Abstand ist der geprüfte Schritt zwischen aufeinanderfolgenden x-Werten, und der Grad liegt um eins unter der Punktzahl. Das Endpunkt-x kennzeichnet die als Anker verwendete Tabellenzeile. Prüfen Sie vor der Interpretation, ob der Abstand dem beabsichtigten Intervall entspricht und p das erwartete Vorzeichen sowie die erwartete Größe besitzt. Ein überraschend großer Betrag von p weist auf eine Extrapolation weit vom Endpunkt hin; dort können Polynome instabil werden. Der Rechner weist unsortierte oder doppelte Koordinaten, nicht endliche Werte und ungleiche Intervalle zurück, statt eine Formel mit verletzten Voraussetzungen stillschweigend anzuwenden. Winzige Gleitkommaabweichungen bei eigentlich gleichen Dezimalschritten werden toleriert, deutlich unregelmäßige Abtastungen jedoch nicht. Die Interpolation setzt ferner voraus, dass ein glattes Polynommodell für die Tabelle sinnvoll ist; sie beweist kein polynomiales Verhalten des realen Vorgangs. Vergleichen Sie experimentelle Schätzungen mit Fachwissen, Unsicherheitsgrenzen oder einer Anpassung niedrigeren Grades. Bei exakten Lehrtabellen zeigt die Termzerlegung den vollständigen Weg von den Ausgangswerten zum Ergebnis.