ForHosting KIT · أدوات المطورين

حاسبة استيفاء نيوتن بالفروق الخلفية

يقدّر استيفاء نيوتن الخلفي قيمة دالة من جدول تفصل بين قيم x فيه مسافات ثابتة. وهو ملائم بوجه خاص عندما تكون قيمة x المطلوبة قريبة من الصف الأخير، لأن الصيغة ترتكز إلى تلك النهاية وتستخدم الفروق الخلفية المحسوبة عندها.

● Betaمجاني · داخل متصفحك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

أدخلوا نقطتين مرتبتين على الأقل وقيمة x مستهدفة. تتحقق الحاسبة من التباعد، وتبني جميع الفروق المنتهية اللازمة، وتحسب كثير حدود الاستيفاء الكامل، ثم تعرض التقدير وتفاصيل الحساب حدًا بعد حد لتتمكنوا من مراجعته.

متى تكون صيغة نيوتن الخلفية هي الاختيار المناسب

استخدموا استيفاء نيوتن الخلفي عندما تكون المشاهدات مجدولة عند قيم x متساوية المسافات ويقع الهدف قرب آخر مشاهدة. ومن أمثلته تقدير قياس بين آخر زمنين لأخذ العينات، أو ملء قيمة مفقودة قرب أسفل جدول عددي، أو التحقق من تمرين دراسي مبني على الفروق الخلفية. إن القرب من النهاية ميزة في سهولة التفسير وليس قيدًا صارمًا على الإدخال؛ إذ يمكن حساب كثير الحدود في موضع آخر، لكن تمثيلًا مختلفًا قد يكون أوضح عندما يقع الهدف قرب البداية. قدموا النقاط بترتيب تصاعدي صارم لقيم x. يجب أن تكون كل قيمة x وy عددًا منتهيًا، ويلزم إدخال نقطتين على الأقل. تستخدم الحاسبة جميع النقاط المدخلة، ولذلك تعرّف n نقطة كثير حدود لا تتجاوز درجته n ناقص 1. لا تؤدي زيادة النقاط تلقائيًا إلى نتيجة أفضل عند وجود ضجيج في البيانات، لأن كثير حدود الاستيفاء يمر بكل مشاهدة تمامًا وقد يضخم خطأ القياس أو يتذبذب بين الصفوف. اختاروا جدولًا صغيرًا وثيق الصلة بالهدف بدل إضافة مشاهدات بعيدة لمجرد رفع الدرجة.

كيفية إجراء الحساب بالفروق الخلفية

لنرمز إلى المسافة المشتركة بالرمز h، وإلى آخر إحداثي مجدول بالرمز x n، ولتكن p مساوية للإحداثي المستهدف ناقص x n مقسومًا على h. تبدأ الصيغة بآخر قيمة y، ثم تضيف p مضروبة في الفرق الخلفي الأول عند النهاية، وبعد ذلك تضيف الفرق الخلفي الثاني مضروبًا في p وفي p زائد 1 ومقسومًا على مضروب 2. يمدد كل حد لاحق هذا الجداء المتصاعد ويقسمه على المضروب الموافق. تبني الحاسبة الفروق المنتهية بتكرار طرح كل قيمة من القيمة التي تليها مباشرة. وتكون القيمة الأخيرة في كل صف فروق هي فرق النهاية المطلوب في الصيغة. تسرد الاستجابة الحدود ابتداءً من الرتبة 0. ويعرض كل حد معامله وفرقه الخلفي ومساهمته، مما يتيح لكم إعادة تكوين المجموع أو تحديد خطأ حسابي في حل يدوي. كما تبين p المعروضة مدى بعد الهدف عن الصف الأخير بوحدات تباعد الجدول؛ فهي تساوي 0 عند النهاية وتكون سالبة لهدف يقع قبلها مباشرة.

قراءة النتيجة وتجنب الأخطاء الشائعة

التقدير هو مجموع جميع المساهمات المعروضة، والتباعد هو الخطوة المتحقق منها بين قيم x المتتالية، أما الدرجة فتقل بمقدار 1 عن عدد النقاط. وتحدد قيمة x النهائية الصف المستخدم مرتكزًا للصيغة الخلفية. قبل تفسير التقدير، تأكدوا من أن الخطوة تطابق فاصل الجدول المقصود وأن إشارة p ومقدارها كما تتوقعون. تشير القيمة المطلقة الكبيرة على نحو مفاجئ لـ p إلى استقراء بعيد عن النهاية، حيث قد تصبح تقديرات كثير الحدود غير مستقرة. ترفض الحاسبة إحداثيات x غير المرتبة أو المكررة، والقيم غير المنتهية، والفواصل غير المتساوية، بدل تطبيق صيغة لا تتحقق افتراضاتها. يُسمح بفروق ضئيلة جدًا ناشئة عن الفاصلة العائمة في خطوات عشرية يفترض تساويها، لكن أخذ العينات غير المنتظم بوضوح مرفوض. يفترض الاستيفاء أيضًا أن قيم الجدول تناسب نموذجًا أملس لكثير حدود، ولا يثبت أن الظاهرة الفعلية تتصرف على نحو كثير حدود. في البيانات التجريبية، قارنوا التقدير بمعرفة المجال أو حدود عدم اليقين أو ملاءمة أقل درجة. وفي الجداول الدراسية الدقيقة، يقدم تفصيل الحدود مسارًا واضحًا من الصفوف الأصلية إلى القيمة النهائية.

حالات الاستخدام

إكمال تمرين في الطرق العددية

ابنوا حدود الفروق عند النهاية وتحققوا من حساب يدوي لكثير حدود استيفاء نيوتن الخلفي.

تقدير قيمة قرب نهاية الجدول

قرّبوا قيمة بين آخر المشاهدات المتساوية المسافات مع إبقاء الحساب المرتكز إلى النهاية ظاهرًا.

مراجعة ورقة عمل للفروق المنتهية

قارنوا كل معامل وفرق خلفي ومساهمة بجدول بيانات أو جدول فروق تعليمي.

الأسئلة الشائعة

ما تكلفة طلب API؟

تبلغ تكلفة كل طلب API مقدار $0.002. ويمكنكم أيضًا تشغيل الحاسبة في المتصفح.

هل يجب أن تكون قيم x متساوية المسافات؟

نعم. تفترض صيغة نيوتن الخلفية القياسية خطوة ثابتة واحدة h، ولذلك تُرفض البيانات ذات المسافات غير المنتظمة.

هل يجب أن يقع الهدف داخل نطاق الجدول؟

لا، لكن الهدف الواقع خارج النطاق المجدول يمثل استقراءً وقد يكون أقل موثوقية بكثير، ولا سيما بعيدًا عن النهاية.

لماذا ينبغي أن يكون الهدف قريبًا من النقطة الأخيرة؟

ترتكز الصيغة الخلفية إلى الصف الأخير، ولذلك يكون معاملها وفروقها أسهل تفسيرًا قرب تلك النهاية.

كم نقطة ينبغي إدخالها؟

أدخلوا من 2 إلى 100 نقطة. استخدموا عددًا كافيًا من النقاط القريبة لتمثيل الاتجاه، وتذكروا أن الضجيج أو الدرجة العالية بلا حاجة قد يخفضان الموثوقية.

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-backward-interpolation

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-backward-interpolation \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"points":[{"x":0,"y":1},{"x":1,"y":2},{"x":2,"y":5},{"x":3,"y":10}],"target_x":2.5}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-backward-interpolation", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "points": [
      {
        "x": 0,
        "y": 1
      },
      {
        "x": 1,
        "y": 2
      },
      {
        "x": 2,
        "y": 5
      },
      {
        "x": 3,
        "y": 10
      }
    ],
    "target_x": 2.5
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-backward-interpolation",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "points": [
        {
            "x": 0,
            "y": 1
        },
        {
            "x": 1,
            "y": 2
        },
        {
            "x": 2,
            "y": 5
        },
        {
            "x": 3,
            "y": 10
        }
    ],
    "target_x": 2.5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-backward-interpolation", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"points":[{"x":0,"y":1},{"x":1,"y":2},{"x":2,"y":5},{"x":3,"y":10}],"target_x":2.5}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"points":[{"x":0,"y":1},{"x":1,"y":2},{"x":2,"y":5},{"x":3,"y":10}],"target_x":2.5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-backward-interpolation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "points": [
    {
      "x": 0,
      "y": 1
    },
    {
      "x": 1,
      "y": 2
    },
    {
      "x": 2,
      "y": 5
    },
    {
      "x": 3,
      "y": 10
    }
  ],
  "target_x": 2.5
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.newton_backward_interpolation",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الحدود

max_points 100

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←