Calculadora de matriz de cofatores

Esta calculadora executa o processo completo: remove cada linha e coluna, calcula o determinante resultante e aplica o padrão alternado de sinais positivos e negativos. A resposta inclui a matriz de menores sem sinal e a matriz final de cofatores, para que você confira cálculos manuais, prepare uma adjunta ou entenda exatamente a origem de cada resultado.

De uma entrada da matriz a um cofator

Cada cofator pertence a uma linha e coluna específicas da matriz quadrada original. Para calcular a entrada na linha i e coluna j, remova toda essa linha e essa coluna. O determinante da matriz menor que resta é o menor correspondente. A calculadora repete essa operação em cada posição; assim, uma entrada três por três produz nove menores e nove cofatores. Isso informa mais do que apenas retornar um determinante, pois você pode examinar cada valor intermediário. Informe a matriz como um array aninhado, com um array interno por linha. Cada linha precisa conter tantos valores quanto o número de linhas, e todo valor deve ser um número real finito. Valores decimais e strings numéricas são aceitos. A matriz original pode ser singular: os cofatores continuam definidos mesmo quando o determinante é zero. Uma matriz um por um também é aceita; seu único cofator é um, pois a remoção da linha e da coluna deixa a matriz vazia, cujo determinante é convencionalmente definido como um.

Aplique os sinais alternados em tabuleiro

Um menor só se torna cofator depois de ser multiplicado pelo sinal determinado por sua posição. A partir do canto superior esquerdo, os sinais alternam em cada linha e coluna: positivo, negativo e positivo na primeira linha; negativo, positivo e negativo na segunda; e assim por diante. Em símbolos, o cofator C na posição i,j é menos um elevado a i mais j, multiplicado pelo menor M dessa posição. A calculadora apresenta `minors_matrix` e `cofactor_matrix`, para você separar a aritmética do determinante das mudanças de sinal. Essa distinção ajuda a diagnosticar erros: se a magnitude estiver errada, confira o determinante menor; se apenas o sinal estiver errado, confira o tabuleiro. Linhas e colunas permanecem na ordem original, sem transposição. Portanto, o resultado é a matriz de cofatores com sinais solicitada, e não a adjunta. Para obter a adjunta usada em uma fórmula de inversão, transponha depois a matriz de cofatores.

Leia e confira o resultado

A resposta informa a dimensão em `size` e traz arrays quadrados correspondentes para menores e cofatores. Compare as entradas nas posições positivas do tabuleiro, inclusive o canto superior esquerdo, e veja que seus sinais permanecem iguais; as posições alternadas devem estar negadas. Para outra verificação, expanda o determinante original por qualquer linha: multiplique cada entrada original dessa linha pelo cofator na mesma posição e some os produtos. Repetir o cálculo em outra linha deve produzir o mesmo determinante. Matrizes de cofatores também levam diretamente ao método clássico da inversa. Transponha a matriz de cofatores para obter a adjunta e divida cada entrada da adjunta pelo determinante original quando ele for diferente de zero. A implementação calcula os determinantes menores por eliminação com pivoteamento, evitando a recursão explosiva de uma expansão literal de Laplace sem alterar a definição matemática. Os números são normalizados com precisão estável, para que resíduos minúsculos de ponto flutuante e zero negativo não prejudiquem resultados que deveriam ser claros.