Calculadora Runge-Kutta 2 para ecuaciones diferenciales

Introduzca la expresión de la derivada, el punto conocido x0 e y0, un extremo y un número fijo de pasos. Puede emplear la fórmula de segundo orden de punto medio, Heun o Ralston. El resultado muestra el tamaño de paso común, las dos pendientes de cada paso, cada incremento ponderado y la aproximación final, para que el proceso numérico sea transparente y reproducible.

Introduzca la ecuación diferencial y el intervalo

Escriba únicamente el lado derecho f(x,y) en el campo de la ecuación. Para y' = x + y, introduzca x + y. La expresión admite números decimales y en notación científica, las variables x e y, las constantes pi y e, paréntesis, suma, resta, multiplicación explícita, división, potencias y las funciones exp, log, sin, cos y sqrt. Escriba 2*x en lugar de 2x y encierre entre paréntesis los argumentos de las funciones. La condición inicial queda definida por x0 e y0, es decir, y(x0) es igual a y0. target_x señala el otro extremo del intervalo. Puede ser mayor o menor que x0, por lo que la integración funciona tanto hacia delante como hacia atrás. Por último, elija el número exacto de pasos. La calculadora divide el intervalo completo en esa cantidad de partes iguales; no interpreta el número como un máximo ni lo modifica durante la resolución. Una expresión mal formada, un nombre no admitido, un valor numérico ausente o un cálculo fuera del dominio real finito genera un error de entrada y no una tabla parcialmente fiable.

Elija e interprete una fórmula RK2

Todos los métodos incluidos son fórmulas Runge-Kutta explícitas de dos etapas y segundo orden. Primero, el solucionador evalúa k1 = f(x,y) en el punto actual. Después utiliza k1 para predecir una posición intermedia y evalúa allí k2. El método del punto medio coloca esa etapa a mitad del paso y usa k2 como pendiente final. El método de Heun predice al final del paso y promedia k1 con k2; también se conoce como Euler mejorado o método del trapecio explícito. El método de Ralston sitúa la etapa a dos tercios del paso y combina un cuarto de k1 con tres cuartos de k2, una elección concebida para reducir un coeficiente habitual del error local. La salida enumera k1, k2 y el incremento resultante de cada punto aceptado. Sume el incremento al valor y anterior para reproducir el siguiente valor mostrado. Como las reglas de etapa difieren, dos variantes RK2 pueden producir aproximaciones ligeramente distintas aunque las tres tengan convergencia de segundo orden en problemas suficientemente suaves.

Evalúe el tamaño de paso y la fiabilidad numérica

El tamaño de paso con signo es (target_x - x0) dividido entre steps, de modo que aumentar el número de pasos reduce la magnitud de cada uno. En un problema suave y no rígido, un método de segundo orden suele reducir el error global aproximadamente por un factor de cuatro al dividir el tamaño de paso por dos, una vez que el cálculo entra en su régimen asintótico. Una comprobación práctica de convergencia consiste en resolver con N pasos y después con 2N, y comparar los valores finales de y. La coincidencia aporta indicios de estabilidad para ese problema, pero no constituye un certificado riguroso de error. Examine también las pendientes: un crecimiento repentino, valores grandes alternantes o aritmética no finita pueden indicar que el intervalo atraviesa una singularidad o que los pasos elegidos son demasiado amplios. Esta calculadora utiliza deliberadamente un número fijo y no aplica control adaptativo del error. Además, devuelve una aproximación, no una solución simbólica. Las ecuaciones rígidas, derivadas discontinuas, integraciones largas y cálculos científicos críticos deben comprobarse con un solucionador adaptativo apropiado, conocimiento del dominio y un análisis de errores independiente.