Calculateur Runge-Kutta 2 d'équations différentielles

Saisissez l'expression de la dérivée, le point connu x0 et y0, une extrémité et un nombre fixe de pas. Vous pouvez choisir la formule du point milieu, de Heun ou de Ralston, toutes d'ordre deux. Le résultat indique le pas commun, les deux pentes de chaque étape, chaque incrément pondéré et l'approximation finale, afin que le calcul numérique reste transparent et reproductible.

Saisissez l'équation différentielle et l'intervalle

Dans le champ de l'équation, saisissez uniquement le membre droit f(x,y). Pour y' = x + y, entrez x + y. L'expression accepte les nombres décimaux et la notation scientifique, les variables x et y, les constantes pi et e, les parenthèses, l'addition, la soustraction, la multiplication explicite, la division, les puissances et les fonctions exp, log, sin, cos et sqrt. Écrivez 2*x plutôt que 2x et placez les arguments des fonctions entre parenthèses. La condition initiale est définie par x0 et y0, ce qui signifie que y(x0) vaut y0. target_x désigne l'autre extrémité de l'intervalle. Cette valeur peut être supérieure ou inférieure à x0 : l'intégration fonctionne donc dans les deux sens. Choisissez enfin le nombre exact de pas. Le calculateur divise tout l'intervalle en autant de parties égales ; il ne considère pas ce nombre comme un maximum et ne le modifie pas pendant le calcul. Une expression incorrecte, un nom non pris en charge, une valeur numérique manquante ou un calcul hors du domaine réel fini déclenche une erreur de saisie plutôt qu'un tableau partiellement fiable.

Choisissez et interprétez une formule RK2

Toutes les méthodes proposées sont des formules de Runge-Kutta explicites à deux étapes et d'ordre deux. Le solveur commence par calculer k1 = f(x,y) au point courant. Il utilise ensuite k1 pour prévoir une position intermédiaire, où il calcule k2. La méthode du point milieu place cette étape à mi-pas et retient k2 comme pente finale. La méthode de Heun effectue la prévision à la fin du pas et prend la moyenne de k1 et k2 ; on l'appelle aussi méthode d'Euler améliorée ou méthode du trapèze explicite. La méthode de Ralston place l'étape aux deux tiers du pas et combine un quart de k1 avec trois quarts de k2, afin de réduire un coefficient courant de l'erreur locale. La sortie affiche k1, k2 et l'incrément obtenu pour chaque point accepté. Ajoutez cet incrément à la valeur y précédente pour retrouver la valeur suivante. Les règles d'étape étant différentes, deux variantes RK2 peuvent donner des approximations légèrement distinctes, bien que toutes trois convergent à l'ordre deux pour des problèmes suffisamment réguliers.

Évaluez le pas et la fiabilité numérique

Le pas signé est égal à (target_x - x0) divisé par steps ; augmenter le nombre de pas réduit donc la valeur absolue de chacun. Pour un problème régulier et non raide, une méthode d'ordre deux divise généralement l'erreur globale par environ quatre lorsque le pas est divisé par deux, une fois le régime asymptotique atteint. Pour vérifier concrètement la convergence, résolvez le problème avec N pas, puis avec 2N, et comparez les valeurs finales de y. Leur accord constitue un indice de stabilité pour ce problème, mais pas une garantie rigoureuse de l'erreur. Examinez également les pentes affichées : une croissance soudaine, de grandes valeurs alternées ou une arithmétique non finie peuvent signaler une singularité dans l'intervalle ou des pas trop grands. Ce calculateur emploie volontairement un nombre fixe de pas et n'effectue aucun contrôle adaptatif de l'erreur. Il fournit une approximation, et non une solution symbolique. Les équations raides, les dérivées discontinues, les longues intégrations et les calculs scientifiques critiques doivent être vérifiés avec un solveur adaptatif approprié, des connaissances métier et une analyse d'erreur indépendante.