Calculadora del método de Taylor para ecuaciones diferenciales

Introduzca la expresión de la derivada, el punto inicial, un valor objetivo de x, un tamaño de paso positivo y un orden entre uno y cuatro. El resultado muestra cada punto aceptado y detalla el coeficiente de Taylor y el incremento usados en cada orden, por lo que sirve tanto para cálculos numéricos como para revisar una solución hecha a mano.

Describa con claridad el problema de valor inicial

Escriba en el campo de la ecuación únicamente el lado derecho de la ecuación diferencial. Por ejemplo, introduzca x + y para y' = x + y. Puede combinar las variables x e y con números, paréntesis, suma, resta, multiplicación, división, potencias y las funciones exp, log, sin, cos y sqrt. Después indique x0 e y0 para definir la condición conocida y(x0) = y0. El campo target_x establece dónde debe terminar la aproximación. step_size siempre se introduce como una distancia máxima positiva; la calculadora determina la dirección a partir de x0 y target_x, de modo que puede integrar hacia delante o hacia atrás. Si el intervalo no es un múltiplo exacto del tamaño solicitado, el último paso se acorta. Así, el valor final queda exactamente en target_x, sin rebasarlo ni detenerse antes sin aviso. Use multiplicación explícita, como 2*x en lugar de 2x, y escriba entre paréntesis los argumentos de las funciones. La sintaxis inválida, los nombres no admitidos, la división por cero y los errores de dominio real se comunican como errores de entrada, no como tablas numéricas engañosas.

Comprenda cómo se calculan los términos de orden superior

Un método de Taylor avanza desde un punto formando y(x+h) como el valor de y más una sucesión de términos derivados. El orden uno conserva solo h y', lo que corresponde al conocido método de Euler. El orden dos añade h al cuadrado por y''/2!, y los órdenes tres y cuatro continúan de la misma manera. La diferencia importante es que las derivadas superiores no se estiman a partir de muestras cercanas. En cada paso, la calculadora representa x e y como series de potencias truncadas y evalúa f(x,y) mediante aritmética de series. Al igualar coeficientes en y' = f(x,y), obtiene sucesivamente cada coeficiente nuevo. En la salida, coefficient representa y^(n)/n! en el punto inicial del paso para el orden n. increment es ese coeficiente multiplicado por h^n. La suma de todos los incrementos mostrados al valor anterior de y produce el siguiente valor de la tabla. De esta forma, usted puede contrastar cada término con una deducción de libro, localizar un error de signo o factorial y detectar cuándo los términos superiores son tan grandes que conviene revisar el tamaño del paso.

Elija de forma responsable el orden y el tamaño de paso

Aumentar el orden suele mejorar una aproximación de Taylor cuando la solución es suave y el paso permanece en una región donde la serie se comporta bien, pero un orden mayor no garantiza por sí solo la precisión. Un paso menor suele ofrecer un resultado más fiable a cambio de más iteraciones. Una comprobación práctica consiste en ejecutar el mismo problema dos veces, reduciendo el paso a la mitad, y comparar los valores finales de y. Si difieren de manera apreciable, vuelva a reducir el paso o valore si un método de Taylor de orden bajo es apropiado para la ecuación. Preste atención a las expresiones cuyos denominadores se acercan a cero y a los argumentos de log o sqrt que abandonan su dominio real. La calculadora rechaza un paso cuando la aritmética deja de ser finita, pero no puede demostrar que una aproximación aparentemente finita sea precisa en todo el intervalo. Tampoco adapta el paso automáticamente ni proporciona una cota rigurosa del error. Considere los términos mostrados como evidencia numérica transparente, no como una solución cerrada. Para ecuaciones rígidas, lados derechos discontinuos o cálculos científicos de alta precisión, compare el resultado con un solucionador adaptativo adecuado y un análisis de errores propio del dominio.