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Multiplicación de enteros gaussianos

Esta calculadora multiplica dos enteros gaussianos de la forma a + bi, cuyas partes real e imaginaria son enteras, y devuelve el producto exacto en la misma forma.

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Introduzca los cuatro coeficientes por separado; la herramienta aplica la propiedad distributiva y la identidad i al cuadrado igual a -1. El resultado incluye la parte real y el coeficiente imaginario para ejercicios de teoría de números, comprobaciones algebraicas, pruebas de software y flujos de cálculo exacto.

Represente ambos enteros gaussianos con cuatro componentes

Un entero gaussiano tiene la forma a + bi, donde a y b son enteros e i es la unidad imaginaria. Antes de multiplicar, identifique cada coeficiente. El primer valor usa a_real para a y a_imag para b; el segundo usa b_real para c y b_imag para d. Para multiplicar 3 + 2i por 1 - 4i, introduzca 3, 2, 1 y -4. Conserve siempre el signo: el coeficiente de -4i es -4. Si el número es puramente real, indique cero como parte imaginaria; si es puramente imaginario, indique cero como parte real. Los cuatro campos son obligatorios para evitar ambigüedades en la API. Deben contener enteros JSON dentro de los límites publicados. Las fracciones, el texto numérico, el infinito y cualquier valor no entero se rechazan, sin redondeos ni conversiones silenciosas. Así se mantiene separada la aritmética exacta del cálculo aproximado con números complejos.

Comprenda cómo se calcula el producto

El cálculo desarrolla (a + bi)(c + di) mediante la propiedad distributiva. Al multiplicar los términos se obtiene ac + adi + bci + bdi al cuadrado. Como i al cuadrado vale -1, el último término se convierte en -bd. Los términos sin i forman la parte real ac - bd, y los coeficientes de i forman la parte imaginaria ad + bc. La calculadora devuelve estos enteros como real e imaginary. Para 3 + 2i y 1 - 4i, la parte real es 3 por 1 menos 2 por -4, y la imaginaria es 3 por -4 más 2 por 1. Esta salida evita dudas de formato y facilita procesos posteriores. El algoritmo solo realiza multiplicaciones, sumas y restas enteras acotadas. El límite garantiza que los valores intermedios y finales permanezcan en el rango entero seguro exacto de JavaScript. La operación es determinista y no utiliza red, modelos, reloj ni aleatoriedad.

Utilice el resultado en matemáticas y software

Los enteros gaussianos forman un anillo, por lo que el producto siempre es otro entero gaussiano. Esta propiedad resulta útil para estudiar sumas de dos cuadrados, primos gaussianos, normas y factorización en Z[i]. Puede comparar una expansión manual con los dos coeficientes devueltos o reutilizarlos en el siguiente paso exacto. Una comprobación independiente es la norma multiplicativa N(a + bi) = a al cuadrado + b al cuadrado: la norma del producto debe coincidir con el producto de las normas de entrada. En pruebas de software conviene incluir cambios de signo, ceros, factores puramente reales o imaginarios y las unidades 1, -1, i y -i. El endpoint cuesta $0.002 por solicitud API, mientras que la versión del navegador sirve para comprobaciones locales. Los componentes inválidos producen un error de entrada y nunca se aproximan. Si sus datos contienen fracciones, representan números complejos generales y requieren otra operación.

Qué puede hacer con ella

Comprobar un ejercicio de teoría de números

Verifique los coeficientes real e imaginario obtenidos al desarrollar un producto de enteros gaussianos.

Probar código de aritmética compleja exacta

Genere resultados esperados estables para pruebas con coeficientes enteros y signos negativos.

Crear un flujo con enteros gaussianos

Transfiera el producto exacto a pasos posteriores de norma, divisibilidad, factorización o visualización.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un entero gaussiano?

Es un número complejo a + bi en el que tanto a como b son enteros.

¿Qué fórmula utiliza la calculadora?

Aplica (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.

¿Puedo introducir componentes decimales o fraccionarios?

No. Cada componente debe ser entero; los valores fraccionarios, no finitos, ausentes o textuales generan un error de entrada.

¿Cómo se introducen valores puramente reales o imaginarios?

Use cero para la parte ausente: 5 se representa con real 5 e imaginaria 0; 5i, con real 0 e imaginaria 5.

¿Cuánto cuesta?

Cada solicitud API cuesta $0.002. La versión interactiva puede ejecutarse localmente en el navegador.

Para desarrolladores — acceso por API

Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.

Endpoint de API

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply

¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.

Llámela desde su stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a_real":3,"a_imag":2,"b_real":1,"b_imag":-4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a_real": 3,
    "a_imag": 2,
    "b_real": 1,
    "b_imag": -4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a_real": 3,
    "a_imag": 2,
    "b_real": 1,
    "b_imag": -4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a_real":3,"a_imag":2,"b_real":1,"b_imag":-4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a_real":3,"a_imag":2,"b_real":1,"b_imag":-4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Ejemplo de solicitud

{
  "a_real": 3,
  "a_imag": 2,
  "b_real": 1,
  "b_imag": -4
}

Ejemplo de respuesta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.gaussian_integer_multiply",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.

Precio

Por solicitud$0.002

Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.

Límites

max_abs_component 10000000

Errores

HTTP	Código	Significado
`401`	`unauthorized`	API key ausente o inválida.
`402`	`insufficient_balance`	El saldo no cubre el precio de la tarea.
`404`	`unknown_type`	El tipo de tarea no existe.
`429`	`rate_limited`	Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear.

Ver la documentación completa del KIT →