Número complejo a forma trigonométrica

Usted obtiene el argumento en radianes y en grados, además de una expresión trigonométrica lista para copiar: r(cos(θ) + i sen(θ)). Es exactamente el mismo cálculo que se hace a mano en un curso de matemáticas, resuelto de forma determinista en una sola llamada, sin deriva de redondeo entre máquinas ni trucos de aproximación: solo la hipotenusa para el módulo y el arcotangente de dos argumentos para el ángulo.

De la forma rectangular a la trigonométrica

Un número complejo escrito como a + bi está en forma rectangular: ubica un punto en el plano recorriendo a unidades sobre el eje real y b unidades sobre el eje imaginario. La forma trigonométrica describe el mismo punto como lo haría un navegante: por distancia y dirección. La distancia es el módulo, calculado como la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado, y la dirección es el argumento, el ángulo medido en sentido antihorario desde el semieje real positivo. Desarrollado, el número queda como r multiplicado por el coseno del ángulo más i por el seno del ángulo. El número no cambia en absoluto; solo cambia su descripción. Y ese cambio de descripción es precisamente lo que vuelve sencillas la multiplicación, la división, las potencias y las raíces de números complejos, porque en lenguaje polar esas operaciones se reducen a multiplicar módulos y sumar ángulos. Este endpoint realiza la conversión en un único paso determinista y devuelve cada parte del resultado para que usted use la que necesite en su siguiente cálculo.

Cómo se calculan el módulo y el argumento

El módulo se calcula con el algoritmo de la hipotenusa en lugar de la ingenua raíz cuadrada de la suma de cuadrados, lo cual importa para componentes muy grandes o muy pequeñas: la fórmula ingenua puede desbordar a infinito o perderse en cero aunque la respuesta verdadera sea un número perfectamente normal. El argumento se calcula con el arcotangente de dos argumentos, no con un arcotangente simple de b sobre a. Esa distinción es la que sitúa el ángulo en el cuadrante correcto: uno más i y menos uno menos i tienen la misma razón b sobre a, pero apuntan en direcciones opuestas, y solo la versión de dos argumentos sabe distinguirlas. El resultado es el valor principal del argumento, situado en el intervalo semiabierto de menos pi a pi, devuelto en radianes y convertido a grados. Ambas entradas deben ser números finitos; una cadena que no se puede interpretar, un infinito o un NaN se rechazan como entrada no válida en lugar de convertirse silenciosamente.

Dónde rinde frutos la conversión

La forma trigonométrica es la representación de trabajo allí donde los números complejos se multiplican una y otra vez. Los ingenieros eléctricos la usan para combinar impedancias y desfases en el análisis de circuitos de corriente alterna, donde el módulo es una magnitud y el argumento es un ángulo de fase. El código de procesamiento de señales la usa para leer la magnitud y la fase de un bin de frecuencia salido de una transformada de Fourier. Los estudiantes la usan para aplicar el teorema de De Moivre, que eleva un número complejo a una potencia elevando el módulo y multiplicando el ángulo: casi imposible en forma rectangular, casi trivial en forma polar. Esta capacidad se ejecuta en nuestro edge global sin conservar nada después de la llamada, y el mismo código que corre aquí corre gratis en su navegador en esta página, de modo que usted puede comprobar un número a mano y solo paga $0.002 por solicitud cuando automatiza la conversión dentro de una canalización.