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Gaußsche ganze Zahlen multiplizieren

Dieser Rechner multipliziert zwei Gaußsche ganze Zahlen der Form a + bi, deren Real- und Imaginärkomponenten ganzzahlig sind, und gibt ihr exaktes Produkt in derselben Form zurück.

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Geben Sie die vier Koeffizienten getrennt ein; das Werkzeug nutzt das Distributivgesetz und die Beziehung, dass i zum Quadrat -1 ergibt. Die Ausgabe enthält Realteil und Imaginärkoeffizient für Zahlentheorie, Algebra-Kontrollen, Softwaretests und weitere exakte Berechnungen.

Stellen Sie beide Gaußschen ganzen Zahlen mit vier Komponenten dar

Eine Gaußsche ganze Zahl hat die Form a + bi, wobei a und b ganze Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist. Der erste Wert verwendet a_real für a und a_imag für b, der zweite b_real für c und b_imag für d. Für 3 + 2i mal 1 - 4i geben Sie 3, 2, 1 und -4 ein. Behalten Sie das Vorzeichen bei: Der Koeffizient von -4i ist -4. Bei einer rein reellen Zahl ist die Imaginärkomponente null, bei einer rein imaginären Zahl der Realteil. Alle vier Felder sind erforderlich, damit eine API-Anfrage eindeutig bleibt. Zulässig sind ausschließlich JSON-Ganzzahlen innerhalb der veröffentlichten Grenzen. Brüche, Zahlentext, unendliche und andere nicht ganzzahlige Werte werden ohne Rundung oder stillschweigende Umwandlung abgelehnt. Damit bleibt exakte Arithmetik klar von angenäherten komplexen Berechnungen getrennt.

Verstehen Sie die Berechnung des Produkts

Die Rechnung entwickelt (a + bi)(c + di) mit dem Distributivgesetz. Es entstehen ac + adi + bci + bdi zum Quadrat. Weil i zum Quadrat -1 ist, wird der letzte Term zu -bd. Die Terme ohne i ergeben den Realteil ac - bd, die i-Koeffizienten den Imaginärteil ad + bc. Der Rechner liefert beide ganzen Zahlen als real und imaginary. Für 3 + 2i und 1 - 4i lautet der Realteil 3 mal 1 minus 2 mal -4; der Imaginärteil ist 3 mal -4 plus 2 mal 1. Diese Darstellung vermeidet Zweideutigkeiten bei Vorzeichen und eignet sich für weitere Verarbeitung. Der Algorithmus nutzt nur begrenzte ganzzahlige Multiplikationen, Addition und Subtraktion. Die Grenzen halten alle Zwischen- und Endwerte im exakt sicheren Ganzzahlbereich von JavaScript. Die Operation ist deterministisch und benötigt weder Netzwerk noch Modell, Uhrzeit oder Zufall.

Nutzen Sie das Ergebnis in Mathematik und Software

Gaußsche ganze Zahlen bilden einen Ring, daher ist ihr Produkt stets wieder eine Gaußsche ganze Zahl. Diese Abgeschlossenheit hilft bei Summen zweier Quadrate, Gaußschen Primzahlen, Normen und Faktorisierung in Z[i]. Sie können eine manuelle Entwicklung mit den beiden Ausgabewerten vergleichen oder diese in den nächsten exakten Rechenschritt übernehmen. Eine unabhängige Kontrolle bietet die multiplikative Norm N(a + bi) = a zum Quadrat + b zum Quadrat: Die Norm des Ergebnisses muss dem Produkt der Eingangsnormen entsprechen. Softwaretests sollten Vorzeichenwechsel, Nullkomponenten, rein reelle oder imaginäre Faktoren sowie 1, -1, i und -i abdecken. Der Endpunkt kostet $0.002 je API-Anfrage; die Browserfassung läuft lokal. Ungültige Komponenten führen zu einem Eingabefehler und werden nicht angenähert. Bruchteile gehören zu allgemeinen komplexen Zahlen und erfordern eine andere Operation.

Anwendungsfälle

Eine zahlentheoretische Aufgabe prüfen

Kontrollieren Sie Real- und Imaginärkoeffizient eines ausmultiplizierten Gaußschen Produkts.

Exakten komplexen Programmcode testen

Erzeugen Sie stabile Sollwerte für Tests mit ganzzahligen und negativen Koeffizienten.

Einen Gaußschen Rechenablauf aufbauen

Übergeben Sie die exakten Komponenten an Norm-, Teilbarkeits-, Faktorisierungs- oder Visualisierungsschritte.

Häufige Fragen

Was ist eine Gaußsche ganze Zahl?

Eine komplexe Zahl a + bi, bei der a und b beide ganze Zahlen sind.

Welche Formel verwendet der Rechner?

Er verwendet (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.

Kann ich Dezimalzahlen oder Brüche eingeben?

Nein. Jede Komponente muss ganzzahlig sein; Brüche, nicht endliche, fehlende oder textuelle Werte erzeugen einen Eingabefehler.

Wie gebe ich rein reelle oder imaginäre Werte ein?

Setzen Sie die fehlende Komponente auf null: 5 ist real 5 und imaginär 0; 5i ist real 0 und imaginär 5.

Was kostet die Nutzung?

Jede API-Anfrage kostet $0.002. Die interaktive Fassung kann lokal im Browser ausgeführt werden.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a_real":3,"a_imag":2,"b_real":1,"b_imag":-4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a_real": 3,
    "a_imag": 2,
    "b_real": 1,
    "b_imag": -4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a_real": 3,
    "a_imag": 2,
    "b_real": 1,
    "b_imag": -4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a_real":3,"a_imag":2,"b_real":1,"b_imag":-4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a_real":3,"a_imag":2,"b_real":1,"b_imag":-4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-multiply", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "a_real": 3,
  "a_imag": 2,
  "b_real": 1,
  "b_imag": -4
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.gaussian_integer_multiply",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Limits

max_abs_component 10000000

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Vollständige KIT-Dokumentation lesen →