幾何分布の累積確率計算

幾何分布の累積分布関数が表すもの

幾何分布は、それぞれの成功確率が同じ独立な試行を繰り返し、最初の成功までを観測する状況をモデル化します。この計算機では、最初の成功までに行う試行回数という定義を採用するため、確率変数Xは1から始まります。kにおける累積分布関数は、Xがk以下となる確率です。日常的な表現では、最初のk回の試行以内に成功する可能性を意味します。補事象から考えると分かりやすくなります。k回以内に目標を達成できないとは、k回すべてに失敗することです。1回の試行が確率pで成功するなら、失敗確率は1引くpです。各試行が独立なので、k回連続で失敗する確率は、1引くpのk乗になります。この値を1から引くと、求める累積確率が得られます。出力には、このCDFと、すべて失敗する残りの確率の両方が含まれます。通常の浮動小数点の丸めを除けば、両者の合計は1です。これは、最初の成功がちょうどk回目に起こる確率とは異なります。後者は累積確率ではなく、確率質量です。用途に応じて両者を混同しないようご注意ください。

pとkの入力方法および結果の読み方

pには、0より大きく1以下の数値を指定してください。小数確率はそのままの尺度で入力します。成功確率が二十五パーセントの場合は25ではなく0.25と入力してください。確率1は有効で、最初の試行が必ず成功することを示します。成功が起こり得ない場合、幾何分布の待ち時間は定義できないため、確率0は拒否されます。kには、1から始まる整数の試行回数を指定してください。分数、0、負の数は、離散的な試行番号として扱えないため拒否されます。cdfとprobabilityの両フィールドは、指定した上限までに成功する確率を示します。failure_probabilityは、k回の試行がすべて失敗する補完的な確率です。percentは表示に便利であり、後続の計算には数値フィールドの使用が適しています。たとえばpが0.25、kが4の場合、4回の独立した機会の中で1回以上成功する可能性を測定します。成功確率を途中で停止して再設定するという仮定は置かず、成功回数の期待合計を数える計算でもありません。

前提条件、数値上の特性、実用的な利用法

このモデルは、試行が十分に独立しており、成功確率が一定に保たれる場合にのみ使用してください。ある試行が次の試行に影響する場合、標本を戻さずに取り出す場合、またはpが時間とともに変化する場合、単純な幾何分布のCDFでは過程を適切に表せないことがあります。固定回数の試行における複数回の成功を扱う問いには、通常は二項分布が適しています。この実装では、特にpが非常に小さいときの数値安定性を高めるため、対数関数と指数関数を用いて補事象を計算します。これにより、1に極めて近い累乗値を直接1から引く際に生じる精度低下の多くを避けられます。ただし、標準的な有限精度の演算であるため、0または1に極端に近い値は、表現可能な最も近い数値として表示される場合があります。計算は決定論的で、ネットワーク通信やランダムなシミュレーションを使用しません。再試行回数の設定、独立した営業接触による成約可能性の推定、検査計画、教科書の演習説明などに利用できます。kを変えて機会の追加効果を比較できますが、重要な判断に用いる前に、独立性と一定確率の前提が妥当かご確認ください。