Calculateur d’itération de fonction

Saisissez une expression en x, choisissez x_0 et indiquez le nombre d’itérations à effectuer. Le résultat comprend la valeur initiale, toutes les sorties successives et la valeur finale. Vous pouvez ainsi étudier les relations de récurrence, points fixes, cycles, convergences, divergences et premières étapes de systèmes dynamiques simples sans effectuer chaque substitution à la main.

Saisissez la fonction et la valeur initiale

Écrivez la règle sous forme d’expression en x, par exemple x^2 - 1, cos(x) ou 0.5*x + 3. Le calculateur accepte les parenthèses, les nombres décimaux et la notation scientifique, les opérateurs +, -, *, / et ^, ainsi que les constantes pi et e. Les fonctions à un argument disponibles comprennent abs, sqrt, sin, cos, tan, exp, ln, log, floor, ceil et round. La multiplication doit être explicite : écrivez 2*x et non 2x. Indiquez ensuite une valeur initiale réelle et finie. Il s’agit de x_0, premier élément de l’orbite, et non du résultat de la première application. Choisissez enfin entre zéro et mille itérations. Zéro renvoie uniquement le point initial et permet de vérifier l’interprétation de la saisie. L’expression est analysée comme une formule mathématique, jamais exécutée comme du code ; tout nom, toute syntaxe ou toute opération hors de la grammaire documentée produit une erreur de saisie explicite.

Lisez l’orbite dans le bon ordre

Si la règle saisie est f et la valeur initiale x_0, le calculateur détermine x_1 = f(x_0), puis x_2 = f(x_1), et poursuit jusqu’à x_n. Le tableau orbit contient donc n + 1 valeurs : la valeur initiale à l’indice zéro, suivie d’une valeur pour chaque application demandée. Le champ final_value répète le dernier élément afin de faciliter son emploi dans des scripts, tandis que iterations consigne le nombre d’applications demandé. Cette distinction évite une erreur de décalage fréquente. Ainsi, trois itérations ne donnent pas trois points au total, mais x_0, x_1, x_2 et x_3. Les valeurs sont normalisées à quinze chiffres significatifs pour atténuer les résidus gênants de la virgule flottante binaire tout en conservant une précision utile. Cette normalisation ne transforme pas l’itération numérique en algèbre symbolique, et l’arrondi peut influencer les systèmes très sensibles après de nombreuses étapes. Considérez les longues orbites chaotiques comme des approximations numériques, surtout lorsque des valeurs initiales voisines s’écartent rapidement.

Interprétez convergence, cycles et erreurs

Les valeurs successives révèlent souvent le comportement qualitatif d’une récurrence. Lorsque les dernières entrées se stabilisent près d’un nombre, celui-ci peut être un point fixe attractif : sa substitution dans la fonction donne approximativement la même valeur. Une alternance entre quelques valeurs répétées suggère un cycle, tandis que des amplitudes en hausse continue peuvent indiquer une divergence. Une liste finie ne prouve aucun de ces phénomènes à elle seule, mais fournit des indices et un point de départ pratique. Comparez les orbites de plusieurs valeurs initiales proches pour étudier la stabilité. Le calculateur s’arrête avec une erreur de saisie si une opération produit Infinity ou NaN, par exemple après une division par zéro, la racine carrée d’un nombre négatif ou un logarithme non valide. L’erreur précise l’itération où l’orbite réelle a cessé d’exister. Les limites fixes de longueur et d’itérations rendent l’exécution prévisible dans le navigateur comme via l’API. Sans réseau, hasard, horloge ni état caché, une même entrée valide produit toujours la même sortie.