Funktionsiterationsrechner

Geben Sie einen Ausdruck in x ein, wählen Sie x_0 und legen Sie die Anzahl der Iterationen fest. Das Ergebnis enthält den Startwert, alle aufeinanderfolgenden Ausgaben und den Endwert. Damit untersuchen Sie Rekursionsbeziehungen, Fixpunkte, Zyklen, Konvergenz, Divergenz und erste Schritte einfacher dynamischer Systeme, ohne jede Einsetzung von Hand auszurechnen.

Funktion und Startwert eingeben

Schreiben Sie die Vorschrift als Ausdruck in x, zum Beispiel x^2 - 1, cos(x) oder 0.5*x + 3. Der Rechner unterstützt Klammern, Dezimalzahlen und wissenschaftliche Schreibweise, die Operatoren +, -, *, / und ^ sowie die Konstanten pi und e. Zu den verfügbaren Funktionen mit einem Argument gehören abs, sqrt, sin, cos, tan, exp, ln, log, floor, ceil und round. Eine Multiplikation muss ausdrücklich angegeben werden: Schreiben Sie 2*x statt 2x. Geben Sie danach einen endlichen reellen Startwert an. Er ist x_0, also das erste Element des Orbits, nicht das Ergebnis der ersten Anwendung. Wählen Sie abschließend zwischen null und eintausend Iterationen. Bei null wird nur der Startpunkt ausgegeben; damit lässt sich die richtige Auslegung der Eingabe prüfen. Ausdrücke werden als Mathematik analysiert und niemals als Code ausgeführt. Namen, Syntax oder Operationen außerhalb der dokumentierten Grammatik führen zu einer eindeutigen Eingabefehlermeldung.

Den Orbit in der richtigen Reihenfolge lesen

Ist die eingegebene Vorschrift f und der Startwert x_0, berechnet das Werkzeug zunächst x_1 = f(x_0), danach x_2 = f(x_1) und fährt bis x_n fort. Das Array orbit enthält deshalb n + 1 Werte: den Startwert am Index null und anschließend einen Wert für jede verlangte Anwendung. Das Feld final_value wiederholt das letzte Element zur bequemen Verwendung in Skripten, während iterations die angeforderte Zahl der Anwendungen festhält. Diese Unterscheidung verhindert einen häufigen Zählfehler. Drei Iterationen liefern beispielsweise nicht insgesamt drei Punkte, sondern x_0, x_1, x_2 und x_3. Die Werte werden auf fünfzehn signifikante Stellen normalisiert, damit störende Endstellen binärer Gleitkommazahlen abnehmen und nützliche Genauigkeit erhalten bleibt. Dadurch wird numerische Iteration nicht zu symbolischer Algebra; Rundung kann sehr empfindliche Systeme nach vielen Schritten beeinflussen. Betrachten Sie lange chaotische Orbits als numerische Näherungen, besonders wenn sich nahe Startwerte schnell voneinander entfernen.

Konvergenz, Zyklen und Fehler deuten

Aufeinanderfolgende Werte zeigen oft das qualitative Verhalten einer Rekursion. Stabilisieren sich spätere Einträge nahe einer Zahl, kann diese ein anziehender Fixpunkt sein: In die Funktion eingesetzt ergibt sie ungefähr wieder denselben Wert. Der Wechsel zwischen wenigen wiederkehrenden Werten deutet auf einen Zyklus hin; stetig wachsende Beträge können Divergenz anzeigen. Eine endliche Liste beweist keines dieser Verhaltensmuster, liefert aber Anhaltspunkte und einen praktischen Ausgangspunkt für die Analyse. Vergleichen Sie Orbits mehrerer naher Anfangswerte, wenn Sie Stabilität untersuchen. Der Rechner bricht mit einem Eingabefehler ab, sobald eine Operation Infinity oder NaN erzeugt, etwa bei Division durch null, der Quadratwurzel einer negativen Zahl oder einem ungültigen Logarithmus. Der Fehler nennt die Iteration, in der der reelle Orbit nicht mehr bestand. Feste Grenzen für Ausdruckslänge und Iterationszahl halten die Ausführung im Browser und per API vorhersehbar. Ohne Netzwerk, Zufall, Uhr oder verborgenen Zustand erzeugt dieselbe gültige Eingabe immer dieselbe Ausgabe.