Calcolatrice di matrice dei cofattori

È il passaggio intermedio alla base dell'aggiunta, della formula dell'inversa A^-1 = adj(A)/det(A) e di ogni sviluppo del determinante da manuale, calcolato in un'unica chiamata deterministica invece che a mano, segno per segno, con ogni voce convalidata prima che inizi qualsiasi calcolo aritmetico.

Che cos'è davvero una matrice dei cofattori

Per una matrice quadrata A, il cofattore C(i,j) combina due elementi: il minore M(i,j), cioè il determinante della sottomatrice che resta dopo aver eliminato la riga i e la colonna j, e un segno a scacchiera (-1)^(i+j) che alterna righe e colonne. La matrice dei cofattori raccoglie ogni C(i,j) nella stessa posizione della voce originale, quindi ha esattamente la stessa forma di A. Gli studenti la incontrano come il meccanismo alla base dello sviluppo di Laplace lungo una riga o una colonna, ma è molto più di un esercizio: la trasposta della matrice dei cofattori è l'aggiunta, e dividendo l'aggiunta per il determinante si ottiene l'inversa ogni volta che il determinante non è zero. Sbagliare un solo segno in un punto qualsiasi ribalta un'intera riga o colonna del risultato, esattamente il tipo di errore silenzioso che un calcolo deterministico elimina per sempre. Lei invia le voci e riceve la matrice dei cofattori completa con ogni segno già applicato, insieme all'ordine n, così la risposta si descrive da sola in modo completo.

Come viene eseguito il calcolo

Ogni cofattore richiede il determinante di un minore (n-1) x (n-1), quindi l'endpoint calcola internamente n al quadrato determinanti per una matrice di ordine n. Ciascuno viene valutato mediante eliminazione gaussiana con pivoting parziale, un metodo esatto per le matrici a numeri interi e a decimali semplici che le persone inviano davvero, e numericamente ben comportato per tutto il resto, a differenza dell'ingenua espansione ricorsiva, il cui costo esplode in modo fattoriale con n. I risultati sono arrotondati a nove cifre decimali, così la risposta è stabile byte per byte indipendentemente da dove viene eseguita. Il contratto di input è rigoroso di proposito: la matrice deve essere quadrata, ogni voce deve essere un numero finito e l'ordine è limitato a dieci, perché oltre quel limite una matrice dei cofattori è raramente ciò che serve — il suo costo cresce come la quinta potenza di n e la via aggiunta-inversa è il modo più lento noto per invertire qualsiasi cosa. Una matrice 1x1 restituisce [[1]], la convenzione che mantiene vera l'identità A * adj(A) = det(A) * I anche in quel caso limite.

Quando usarla e quando no

La usi quando la matrice dei cofattori stessa è il risultato richiesto: verificare i compiti voce per voce, generare esempi completamente svolti per l'insegnamento, collaudare un'implementazione della formula dell'aggiunta contro un riferimento affidabile, oppure alimentare una pipeline simbolica che ha bisogno di ogni minore con segno in modo esplicito anziché di un unico numero aggregato. Se ciò che Le serve davvero è solo il determinante o l'inversa, quelle sono capacità separate e più economiche — il determinante è un solo numero e l'inversa viene calcolata direttamente con l'eliminazione di Gauss-Jordan anziché attraverso n al quadrato minori. Lo stesso codice che risponde all'API funziona gratuitamente nel Suo browser su questa pagina, quindi può incollare una matrice, ispezionare il risultato e pagare — $0.002 per richiesta — solo quando automatizza la chiamata dal proprio sistema. Nulla di ciò che invia viene conservato da nessuna parte: la matrice viene elaborata in memoria e scartata, e le viene restituita solo la matrice dei cofattori.