Equazione quadratica per sostituzione

Inserisca i tre coefficienti e scelga se u rappresenta x al quadrato oppure la radice quadrata principale di x. Lo strumento trova le radici nella variabile sostituita, applica il vincolo di dominio necessario e torna a x per restituire tutte le soluzioni reali. Mostra inoltre il discriminante e una breve sequenza di passaggi, utile per controllare un esercizio, preparare esempi o verificare un procedimento algebrico.

Riconosca una quadratica nascosta in un’altra espressione

Un’equazione è quadratica nella forma quando la stessa espressione compare una volta alla prima potenza e una volta al quadrato. Un’equazione biquadratica come x alla quarta meno cinque x al quadrato più quattro uguale a zero contiene x² e il suo quadrato x⁴. Ponendo u = x², diventa u² − 5u + 4 = 0. Lo stesso schema compare con i radicali: se un’equazione contiene x e √x, x è il quadrato di quella radice, quindi u = √x produce una quadratica ordinaria. Il risolutore richiede a, b e c secondo lo schema trasformato au² + bu + c = 0. Selezioni la sostituzione corrispondente all’espressione originale. Questa separazione mantiene distinto il calcolo quadratico dall’analisi del dominio e dalla sostituzione inversa, i passaggi nei quali più spesso si perdono soluzioni oppure se ne aggiungono di non valide.

Risolva rispetto a u, quindi applichi il dominio

Dopo la sostituzione, lo strumento calcola il discriminante b² − 4ac. Un valore negativo indica che non esistono valori reali di u e quindi nemmeno valori reali di x per le forme supportate. Un discriminante nullo fornisce una radice ripetuta di u, mentre uno positivo produce due candidate. Queste non sono automaticamente valide. Entrambe le sostituzioni richiedono u ≥ 0: il quadrato di un numero reale non può essere negativo e neppure la radice quadrata principale. Perciò tutte le radici sono riportate in u_solutions, mentre quelle ammissibili compaiono separatamente in admissible_u_solutions. Una candidata esclusa resta visibile. Il calcolo usa una forma numericamente stabile della formula quadratica per limitare la cancellazione. I coefficienti devono essere numeri reali finiti e a deve essere diverso da zero, altrimenti l’equazione trasformata sarebbe lineare.

Esegua la sostituzione inversa senza perdere radici

Il ritorno a x dipende dal significato di u. Se u = x², ogni valore positivo ammissibile di u genera due risposte reali: la radice positiva e quella negativa. Se u = 0, esiste soltanto x = 0, non due copie differenti. Per questo un’equazione di quarto grado può avere quattro, due, una o nessuna soluzione reale distinta, anche se la quadratica sostituita ha al massimo due radici. Se u = √x, risolvere √x = u dà x = u². Da ogni u ammissibile si ottiene un solo x, perché il radicale indica la radice principale non negativa. Lo strumento ordina i risultati, elimina i duplicati e restituisce solution_count. Prima di utilizzare l’esito, verifichi che la sostituzione scelta corrisponda alla struttura iniziale. Il risolutore non interpreta notazione algebrica libera né ricava coefficienti da un’equazione digitata. Nell’automazione, ogni richiesta costa $0.002.