Equação quadrática por substituição

Informe os três coeficientes e escolha se u representa x ao quadrado ou a raiz quadrada principal de x. A ferramenta encontra as raízes da equação substituída, aplica a restrição de domínio necessária e desfaz a substituição para obter todos os valores reais de x. Ela também exibe o discriminante e uma sequência curta de etapas, útil para conferir exercícios, montar exemplos ou validar um procedimento algébrico.

Reconheça uma quadrática escondida em outra expressão

Uma equação é quadrática na forma quando a mesma expressão aparece uma vez na primeira potência e outra vez ao quadrado. Uma equação biquadrada como x elevado à quarta menos cinco x ao quadrado mais quatro igual a zero contém x² e o quadrado de x², isto é, x⁴. Ao definir u = x², ela se torna u² − 5u + 4 = 0. O mesmo padrão aparece com radicais: se a equação contém x e √x, então x é o quadrado dessa raiz; portanto, u = √x produz uma quadrática comum. O solucionador recebe a, b e c no padrão transformado au² + bu + c = 0. Escolha a substituição que corresponde à expressão original. Essa separação mantém o cálculo quadrático distinto da análise de domínio e da substituição inversa, etapas em que soluções costumam ser perdidas ou acrescentadas indevidamente.

Resolva em u e depois imponha o domínio

Após a substituição, o solucionador calcula o discriminante b² − 4ac. Um valor negativo indica que não existem valores reais de u nem valores reais de x nas formas aceitas. Um discriminante zero fornece uma raiz repetida de u, enquanto um valor positivo fornece duas candidatas. Essas candidatas não são válidas automaticamente. As duas substituições disponíveis exigem u ≥ 0: o quadrado de um número real não pode ser negativo, e a raiz quadrada principal também nunca é negativa. Por isso, todas as raízes são mostradas em u_solutions e as que passam pelo domínio aparecem separadamente em admissible_u_solutions. Assim, uma candidata rejeitada permanece visível. O cálculo usa uma forma numericamente estável da fórmula quadrática para reduzir cancelamentos. Os coeficientes devem ser números reais finitos, e a deve ser diferente de zero; caso contrário, a equação transformada seria linear.

Desfaça a substituição sem perder nem criar raízes

A substituição inversa depende do significado de u. Quando u = x², cada u positiva admissível gera duas respostas reais: a raiz positiva e a negativa. Se u = 0, existe apenas x = 0, e não duas cópias distintas. Assim, uma equação de quarto grau pode ter quatro, duas, uma ou nenhuma solução real diferente, embora a quadrática substituída tenha no máximo duas raízes. Quando u = √x, resolver √x = u resulta em x = u². Cada u admissível fornece um único x, pois o radical representa a raiz principal não negativa. A ferramenta ordena os valores, remove duplicatas e informa solution_count. Antes de usar o resultado, confirme se a substituição escolhida corresponde à estrutura original. O recurso resolve a forma declarada; ele não interpreta notação algébrica livre nem extrai coeficientes de uma equação digitada. Na automação, o mesmo resultado determinístico custa US$ 0,002 por solicitação.