Halbwinkel-Kosinus-Rechner mit richtigem Vorzeichen

Er wendet die Halbwinkelidentität des Kosinus an, berechnet den nicht negativen Betrag der Quadratwurzel und wählt anschließend anhand des angegebenen Quadranten das mathematisch richtige positive oder negative Vorzeichen. Das Ergebnis enthält den vorzeichenbehafteten Wert, seinen Betrag, das gewählte Vorzeichen und den verwendeten Quadranten. Dadurch können Sie jeden Teil der Rechnung nachvollziehen. Das Werkzeug eignet sich für Aufgaben mit exakten Werten, die Prüfung trigonometrischer Identitäten und Zwischenschritte in umfangreicheren Trigonometrieaufgaben.

Kosinus eingeben und Halbwinkel einordnen

Beginnen Sie mit dem Kosinus des ursprünglichen Winkels, nicht mit dem Winkelmaß selbst. Tragen Sie diesen Wert als Zahl zwischen -1 und 1 in das Kosinusfeld ein. Wenn beispielsweise cos(theta) = 1/2 gilt, geben Sie 0.5 ein. Bestimmen Sie danach den Quadranten, in dem theta/2 liegt, und wählen Sie I, II, III oder IV. Diese zweite Angabe ist erforderlich, weil eine Quadratwurzel einen nicht negativen Betrag liefert, ein trigonometrischer Wert jedoch positiv oder negativ sein kann. Der Kosinus ist in den Quadranten I und IV positiv und in II und III negativ. Der Quadrant muss den Halbwinkel beschreiben, nicht theta, denn gesucht ist cos(theta/2). Gibt die Aufgabe ein Intervall für theta vor, halbieren Sie dieses Intervall, bevor Sie den Quadranten auswählen. Besondere Sorgfalt ist nötig, wenn das Intervall eine Achse schneidet: Ein Quadrant bezeichnet einen offenen Bereich, während ein Winkel genau auf einer Achse anhand seiner exakten Endlage beurteilt werden muss. Mit beiden Eingaben kann der Rechner ein eindeutiges Ergebnis samt Vorzeichen bestimmen.

So liefert die Halbwinkelidentität das Ergebnis

Die Berechnung verwendet cos(theta/2) = plus oder minus die Quadratwurzel aus (1 + cos(theta)) / 2. Zunächst wird zum eingegebenen Kosinus 1 addiert und die Summe durch 2 geteilt. Da ein gültiger Kosinus zwischen -1 und 1 liegt, befindet sich der Radikand zwischen 0 und 1; seine reelle Quadratwurzel ist daher definiert. Diese Wurzel wird als Betrag ausgegeben. Anschließend legt der ausgewählte Halbwinkelquadrant das Vorzeichen fest: positiv in I oder IV, negativ in II oder III. Angenommen, cos(theta) ist 0.5 und theta/2 liegt im Quadranten II. Der Betrag ist sqrt(0.75), also ungefähr 0.8660254037844386. Da der Kosinus im Quadranten II negativ ist, lautet der ausgegebene Wert ungefähr -0.8660254037844386. Die gedankliche Trennung von Betrag und Vorzeichen verhindert den häufigen Fehler, aus dem Plus-minus-Zeichen zwei endgültige Antworten zu machen. Die Quadrantenangabe löst diese Mehrdeutigkeit auf. Der Algorithmus verwendet gewöhnliche deterministische Arithmetik und leitet den von Ihnen angegebenen Quadranten weder selbst her noch verändert er ihn.

Ausgabe verstehen und Rechnung prüfen

Das wichtigste Ausgabefeld value enthält den vorzeichenbehafteten Kosinus des halben Winkels. Das Feld magnitude zeigt das Ergebnis der Hauptquadratwurzel, bevor das Quadrantenvorzeichen angewendet wird. sign nennt den gewählten positiven oder negativen Zweig, und half_angle_quadrant wiederholt den für die Entscheidung verwendeten Quadranten. Mit diesen Angaben können Sie die Lösung Schritt für Schritt kontrollieren. Prüfen Sie zunächst, ob der Wert zwischen -1 und 1 liegt, sein Absolutwert magnitude entspricht und sein Vorzeichen zum Kosinus im ausgewählten Quadranten passt. Ist der Kosinus des ganzen Winkels -1, beträgt der Betrag null. Positive und negative null stellen denselben mathematischen Wert dar; deshalb gibt der Rechner eine gewöhnliche null aus, nennt im Vorzeichenfeld aber weiterhin den ausgewählten Zweig. Die Dezimalausgabe folgt der Gleitkommagenauigkeit von JavaScript, sodass Werte mit irrationalen Wurzeln Näherungen sind. Verlangt eine Aufgabe eine exakte Wurzeldarstellung, können Sie anhand der gezeigten Rechenstruktur den entsprechenden Wurzelausdruck notieren und seinen Zahlenwert mit der ausgegebenen Dezimalzahl bestätigen.