Produkt-zu-Summe-Rechner

Geben Sie die Winkel A und B in Grad oder Radiant ein; der Rechner wendet cos(A) cos(B) = 1/2[cos(A - B) + cos(A + B)] an. Die Antwort enthält den ursprünglichen Ausdruck, die umgeformte Fassung, Summen- und Differenzwinkel sowie übereinstimmende Zahlenwerte beider Formen. Damit können Sie algebraische Schritte prüfen, Integrale vorbereiten, trigonometrische Ausdrücke vereinfachen und genau nachvollziehen, woher jeder Term der Identität stammt.

Geben Sie die beiden Kosinuswinkel ein

Beginnen Sie mit einem Ausdruck, der genau aus dem Produkt zweier Kosinusfaktoren besteht, etwa cos(60°) cos(30°). Tragen Sie den ersten Winkel unter A und den zweiten unter B ein und wählen Sie anschließend für beide Grad oder Radiant. Der Rechner verlangt endliche numerische Winkel, weil er eine eindeutige Umformung durchführen und einen geprüften Wert liefern soll. Eine beliebige symbolische Eingabe kann er nicht zuverlässig deuten. Negative Winkel und Winkel über eine volle Umdrehung hinaus sind zulässig; da der Kosinus periodisch ist, müssen Sie diese vorher nicht reduzieren. Verwenden Sie für beide Eingaben dieselbe Einheit. Geben Sie beispielsweise nicht 60 als Grad und pi/6 so ein, als wäre es in derselben Anfrage ein numerischer Radiantwert. Falls vor dem Produkt ein zusätzlicher Koeffizient steht, formen Sie hier zunächst das Kosinusprodukt um und multiplizieren danach die gesamte ausgegebene rechte Seite mit diesem äußeren Koeffizienten. So bleibt die Anwendung der Identität nachvollziehbar und kein Faktor geht bei der manuellen Rechnung verloren.

Lesen Sie die Produkt-zu-Summe-Umformung

Verwendet wird die Regel cos(A) cos(B) = 1/2[cos(A - B) + cos(A + B)]. Der Rechner zieht zuerst B von A ab und erhält so den Differenzwinkel. Danach addiert er A und B zum Summenwinkel. Beide Winkel setzt er in getrennte Kosinusterme ein und multipliziert deren Summe mit ein halb. Die Reihenfolge beeinflusst nur die angezeigte Differenz: Wenn Sie A und B vertauschen, wird aus A - B der Ausdruck B - A. Der Kosinus ist jedoch eine gerade Funktion, daher gilt cos(B - A) = cos(A - B), und der Endwert bleibt unverändert. Das Ergebnis zeigt sowohl die allgemeine Identität als auch die Ausdrücke mit Ihren eingesetzten Zahlen. difference_angle und sum_angle werden zusätzlich einzeln ausgegeben, damit Sie Vorzeichen leichter kontrollieren können, bevor Sie den Ausdruck in eine Aufgabe, einen Beweis oder einen Integrationsschritt übernehmen. Klammern und der äußere Faktor ein halb sind unverzichtbar: Er multipliziert die Summe beider Kosinusterme und nicht nur den ersten Term.

Prüfen Sie den Wert und verwenden Sie das Ergebnis

Das Feld original_value berechnet cos(A) mal cos(B) direkt. transformed_value wertet unabhängig davon die Hälfte der Summe aus cos(A - B) und cos(A + B) aus. Beide Zahlen sollten bis auf harmlose Gleitkommarundung übereinstimmen, da es sich um eine Identität handelt. Die Werte werden auf zwölf Dezimalstellen gerundet, damit ein theoretisches Ergebnis von null nicht als winziger Rest in wissenschaftlicher Schreibweise erscheint. Die umgeformte Darstellung ist besonders beim Integrieren von Produkten trigonometrischer Funktionen hilfreich, denn eine Summe einzelner Kosinusterme lässt sich meistens einfacher integrieren als ein Produkt. Auch bei Fourier-Analysen, Signalberechnungen und Aufgaben, die ausdrücklich eine Umformung statt einer bloßen Auswertung verlangen, ist sie nützlich. Behalten Sie die ausgewählte Einheit bei, wenn Sie die kombinierten Winkel weiterverwenden: Differenz und Summe werden in derselben Einheit wie die Eingaben ausgegeben. Benötigen Sie eine exakte symbolische Form mit pi, verwenden Sie die angezeigte Identität als algebraische Vorlage; dieser Rechner wertet bewusst endliche numerische Winkel aus.