Wendepunkte eines Polynoms berechnen

Geben Sie die Koeffizienten in absteigender Gradfolge ein und setzen Sie für fehlende Potenzen jeweils eine Null ein. Das Werkzeug bildet die zweite Ableitung, isoliert sämtliche reellen Nullstellen und prüft das Vorzeichen beiderseits jeder möglichen Wendestelle. Diese letzte Prüfung ist entscheidend: Eine Nullstelle der zweiten Ableitung ist nur ein Kandidat und wird erst dann zum Wendepunkt, wenn sich die Krümmung dort wirklich ändert.

Geben Sie das Polynom mit Platzhaltern für fehlende Terme ein

Stellen Sie das Polynom als Koeffizientenliste von der höchsten Potenz bis zum konstanten Glied dar. Ein kubisches Polynom benötigt beispielsweise vier Positionen: die Koeffizienten von x hoch drei, x hoch zwei, x und der Konstanten. Fehlt eine Potenz in der ausgeschriebenen Formel, tragen Sie an ihrer Stelle eine Null ein. Dadurch bleibt jeder Koeffizient seinem richtigen Grad zugeordnet, und ein ausgelassener Term verschiebt nicht alle nachfolgenden Werte. Der erste Koeffizient muss ungleich null sein, sämtliche Werte müssen endlich sein und die Liste muss mindestens ein quadratisches Polynom beschreiben. Außerdem können Sie die Anzahl der Dezimalstellen für die ausgegebenen Koordinaten wählen. Diese Genauigkeit verändert nur die Darstellung, nicht die mathematische Suche. Ein quadratisches Polynom besitzt eine konstante zweite Ableitung und kann seine Krümmung daher nicht wechseln; eine leere Liste ist in diesem Fall korrekt. Das Ergebnis enthält nur x-Koordinaten. Setzen Sie diese in das ursprüngliche Polynom ein, wenn Sie zusätzlich y-Koordinaten benötigen.

Warum die Nullstellen der zweiten Ableitung nicht genügen

Ein Wendepunkt verlangt einen Wechsel von Links- zu Rechtskrümmung oder umgekehrt. Die Nullstellen der zweiten Ableitung liefern mögliche Stellen, erfüllen diese Bedingung aber nicht immer. Eine Nullstelle gerader Vielfachheit kann die waagerechte Achse lediglich berühren, ohne sie zu schneiden; dann bleibt das Vorzeichen auf beiden Seiten gleich. Der Rechner entfernt solche falschen Treffer. Er leitet die Koeffizientenliste zweimal ab, bestimmt jede verschiedene reelle Nullstelle der zweiten Ableitung und teilt die Zahlengerade an diesen Stellen in Intervalle. Anschließend wertet er die zweite Ableitung im unmittelbar linken und rechten Intervall aus. Nur bei entgegengesetzten Vorzeichen wird die Stelle ausgegeben. So werden auch mehrfache Nullstellen richtig behandelt: Ungerade Vielfachheit bewirkt einen Vorzeichenwechsel und damit eine Wendestelle, gerade Vielfachheit nicht. Komplexe Nullstellen liegen nicht auf dem reellen Graphen und werden weder als Kandidaten noch im Ergebnis berücksichtigt.

Deuten und überprüfen Sie die berechneten Koordinaten

Jede ausgegebene Zahl ist eine x-Koordinate, an der der Graph seine Krümmung wechselt. Lesen Sie die Werte von links nach rechts und beschreiben Sie den Verlauf anhand des Vorzeichens der zweiten Ableitung in den Zwischenräumen. Eine positive zweite Ableitung bedeutet Krümmung nach oben, eine negative Krümmung nach unten. Eine leere Liste besagt nicht zwingend, dass die zweite Ableitung keine Nullstellen besitzt. Vielmehr erzeugt keine reelle Nullstelle den erforderlichen Vorzeichenwechsel, oder die zweite Ableitung ist eine von null verschiedene Konstante. Gerundete Koordinaten eignen sich für Berichte und Zeichnungen; bei Nullstellen hoher Vielfachheit sollten Sie vor weiteren Berechnungen mehr Dezimalstellen wählen. Die Berechnung ist deterministisch, bis Grad zwanzig begrenzt und verwendet weder Netzwerkzugriffe noch eine Rasterabtastung des Graphen. Die Isolation nutzt die Ableitungsstruktur des Polynoms und kann deshalb dicht benachbarte Kandidaten finden, die in einer groben Zeichnung verborgen bleiben.