ForHosting KIT · 開発者向けツール

多項式の変曲点計算ツール

この多項式変曲点計算ツールは、グラフの凹凸が切り替わる実数の x 座標を求めます。係数は次数の高い順に入力し、存在しない次数には 0 を入れてください。第二次導関数を作り、そのすべての実数解を分離したうえで、各候補の左右における符号を確認します。この確認は重要です。第二次導関数が 0 になるだけでは変曲点の候補にすぎず、実際に凹凸が変化する場合だけが変曲点となります。

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欠けている項を省略せずに多項式を入力します

係数は最高次数から定数項まで順番に並べてください。たとえば三次多項式では、x の三乗、x の二乗、x、定数項の係数という 4 つの位置が必要です。式に特定の次数の項がない場合、その位置には 0 を入力します。これにより各係数と次数の対応が保たれ、項の省略によって後続の値がずれることを防げます。先頭の係数は 0 以外、すべての値は有限でなければならず、少なくとも二次多項式を指定する必要があります。返される座標の小数点以下の桁数も選択できますが、これは表示だけを変え、数学的な探索には影響しません。二次多項式の第二次導関数は定数なので凹凸は変わらず、空の一覧が正しい結果です。出力は x 座標だけです。y 座標も必要な場合は、得られた各値を元の多項式へ代入してください。

第二次導関数の方程式を解くだけでは不十分です

変曲点では、下に凸から上に凸へ、またはその逆へ凹凸が切り替わる必要があります。第二次導関数の零点は候補を示しますが、すべてがこの定義を満たすわけではありません。偶数重根では横軸に触れるだけで交差せず、左右で符号が同じままになることがあります。本ツールはこのような誤った候補を除外します。係数列を 2 回微分し、第二次導関数の相異なる実数解をすべて求め、それらによって実数直線を区間に分けます。そして各候補の直前と直後の区間で第二次導関数を評価し、符号が反対の場合だけ結果に含めます。この方法は重根にも対応します。奇数重根では符号が変わるため変曲点となり、偶数重根ではなりません。複素数解は実グラフ上の x 座標ではないため、候補にも最終結果にも含まれません。

返された座標を読み取り、確認します

返される各数値は、グラフの凹凸が切り替わる x 座標です。左から右へ並べ、各座標の間で第二次導関数の符号を調べると曲線を説明できます。第二次導関数が正なら下に凸、負なら上に凸です。結果が空でも、第二次導関数に零点がないとは限りません。実数の零点で必要な符号変化が起きないか、第二次導関数が 0 ではない定数であることを意味します。丸めた座標はレポートや作図に便利ですが、重複度の高い根は代入時に誤差の影響を受けやすいため、後の計算に使う場合は精度を上げてください。計算は決定的で次数 20 までに制限され、ネットワークやグラフの格子状サンプリングを使いません。導関数の構造に沿って根を分離するため、粗い作図では見落とす近接した候補も検出できます。

活用例

微積分の問題を確認する

第二次導関数の零点のうち、実際に凹凸が変わる点だけを確認できます。

多項式の概形を描く

凹凸の区間を描く前に、得られた座標を符号表へ配置できます。

記号計算の結果を検証する

数式処理システムの候補一覧を、独立した決定的な符号変化判定と比較できます。

よくある質問

利用料金はいくらですか？

API 経由のリクエスト 1 回につき $0.002 です。ブラウザー内の計算ではサーバー処理を使いません。

第二次導関数の零点が結果に含まれないのはなぜですか？

左右で第二次導関数の符号が同じなら凹凸が変わらないため、その零点は除外されます。

存在しない項はどのように入力しますか？

欠けている次数の位置に係数 0 を入れ、次数の降順が崩れないようにしてください。

結果には y 座標も含まれますか？

いいえ。指定どおり x 座標だけを返します。y 座標は各値を元の多項式に代入して求めてください。

二次多項式に変曲点はありますか？

ありません。第二次導関数が定数であり、凹凸が変化しないためです。

複素数の変曲点座標も返されますか？

いいえ。変曲点は実グラフ上の変化を表すため、実数の x 座標だけを対象とします。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/inflection-points-polynomial

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/inflection-points-polynomial \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coefficients":[1,0,-3,2]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/inflection-points-polynomial", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coefficients": [
      1,
      0,
      -3,
      2
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/inflection-points-polynomial",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coefficients": [
        1,
        0,
        -3,
        2
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/inflection-points-polynomial", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coefficients":[1,0,-3,2]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/inflection-points-polynomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "coefficients": [
    1,
    0,
    -3,
    2
  ]
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.inflection_points_polynomial",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

制限

max_coefficients 21

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

KITの完全なドキュメントを見る →