Calculadora de coeficientes de Taylor do logaritmo natural

Ela começa com o coeficiente constante zero e depois aplica o padrão de recíprocos alternados: 1, -1/2, 1/3, -1/4 e assim por diante. Cada resultado informa a potência, o coeficiente numérico e a fração exata, o que permite estudar cálculo, conferir uma expansão feita à mão ou usar uma aproximação logarítmica finita em software. O cálculo é determinístico e aceita graus de zero a mil.

Escolha a maior potência incluída na série

Informe um inteiro não negativo chamado grau. A calculadora interpreta esse valor de forma inclusiva; portanto, o grau 6 retorna os coeficientes de x nas potências 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. O grau 0 é válido e retorna somente o coeficiente constante, que é zero porque ln(1+0)=0. O grau 1 retorna o truncamento linear x. Manter o grau separado da quantidade de termos não nulos evita um erro comum de contagem: a saída sempre possui o grau mais um registros, pois o termo constante aparece explicitamente. O limite aceito é 1000, amplo para gerar coeficientes e ainda manter a resposta limitada e prática para consulta. Não informe decimal, texto numérico, valor negativo, infinito nem deixe o campo ausente; a entrada precisa ser um inteiro real dentro do intervalo declarado. Esta ferramenta gera coeficientes em vez de avaliar o polinômio em determinado x, por isso não existe uma entrada x. Depois de receber os registros, você pode usar quantos forem necessários em sua aproximação, demonstração, atividade ou programa. Graus idênticos sempre produzem a mesma saída ordenada.

Entenda os coeficientes recíprocos alternados

A expansão de Maclaurin é ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+..., logo o coeficiente de x^n é (-1)^(n+1)/n para todo inteiro n maior ou igual a 1. O coeficiente constante na potência 0 é tratado à parte e vale zero. Cada registro retornado contém power, coefficient e exact. Power é o expoente n. Coefficient é o valor numérico de JavaScript, conveniente para cálculos diretos. Exact é um texto como 1/3 ou -1/4 que preserva a forma racional sem ambiguidade de exibição em ponto flutuante; o primeiro coeficiente aparece simplesmente como 1. Potências positivas ímpares têm coeficientes positivos, enquanto as pares têm coeficientes negativos. Os registros vêm ordenados da potência 0 até o grau escolhido, então a posição no array também coincide com o expoente. A resposta ainda identifica a função, informa zero como ponto da expansão e apresenta raio de convergência igual a um. Esse raio descreve a série de potências centrada em zero, mas não garante que um truncamento finito alcance uma tolerância específica. Não há sistema de álgebra simbólica nem diferenciação numérica: a fórmula conhecida é aplicada diretamente, tornando até graus altos previsíveis e fáceis de auditar.

Use corretamente um polinômio de Taylor finito

A lista retornada define uma aproximação polinomial quando você multiplica cada coeficiente por x elevado à potência indicada e soma os termos. Para valores com módulo menor que um, aumentar o grau geralmente melhora a aproximação, embora a convergência fique lenta quando x se aproxima de qualquer extremidade. Em x=1, a série infinita vira a série harmônica alternada e converge para ln(2), mas um resultado finito ainda possui erro de truncamento. Em x=-1, o logaritmo não é finito e a série correspondente não fornece um valor funcional finito. Fora do raio de convergência, acrescentar termos de Taylor não transforma essa expansão em uma aproximação válida do logaritmo. A calculadora não avalia x, não estima o resto, não escolhe um grau para uma tolerância solicitada, não simplifica uma função enviada por você nem expande ln(a+x) em torno de outro centro. Sua finalidade específica é retornar os coeficientes de ln(1+x) de modo correto e consistente. Assim, ela atende demonstrações em aula, dados de testes unitários e código numérico que faça sua própria avaliação e controle de erro. O navegador fornece resultado imediato, enquanto uma solicitação à API custa US$ 0,002 e entrega os mesmos dados estruturados a fluxos automatizados.