Calculadora de coeficientes de Taylor del logaritmo natural

Comienza con el coeficiente constante cero y aplica después el patrón de recíprocos alternos: 1, -1/2, 1/3, -1/4 y así sucesivamente. Cada resultado indica la potencia, el coeficiente numérico y la fracción exacta, por lo que sirve para estudiar cálculo, comprobar un desarrollo manual o incorporar una aproximación logarítmica finita en un programa. El cálculo es determinista y admite grados de cero a mil.

Elija la potencia máxima incluida en la serie

Introduzca un entero no negativo denominado grado. La calculadora interpreta este valor de forma inclusiva, de modo que el grado 6 devuelve los coeficientes de x elevados a 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6. El grado 0 es válido y devuelve únicamente el coeficiente constante, que es cero porque ln(1+0)=0. El grado 1 devuelve el truncamiento lineal x. Separar el grado del número de términos no nulos evita un error frecuente de una unidad: la salida siempre contiene el grado más uno registros, ya que el término constante se representa de manera explícita. El intervalo admitido termina en 1000, suficiente para generar coeficientes sin que la respuesta deje de ser acotada y manejable. No introduzca un decimal, una cadena numérica, un valor negativo, infinito ni omita el campo; la entrada debe ser un entero real del intervalo declarado. Esta herramienta genera coeficientes y no evalúa el polinomio para un x concreto, por lo que no existe un campo x. Cuando reciba los registros, puede emplear tantos como requieran su aproximación, demostración, ejercicio o programa. Un mismo grado produce siempre la misma salida ordenada.

Interprete los coeficientes recíprocos alternos

El desarrollo de Maclaurin es ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+..., por lo que el coeficiente de x^n es (-1)^(n+1)/n para todo entero n mayor o igual que 1. El coeficiente constante de la potencia 0 se trata por separado y vale cero. Cada registro devuelto contiene power, coefficient y exact. Power es el exponente n. Coefficient es el valor numérico de JavaScript, apropiado para cálculos directos. Exact es una cadena como 1/3 o -1/4 que conserva la forma racional sin ambigüedades de representación en coma flotante; el primer coeficiente se escribe simplemente como 1. Las potencias positivas impares tienen coeficientes positivos y las pares, negativos. Los registros aparecen ordenados desde la potencia 0 hasta el grado elegido, de manera que su posición en el arreglo también coincide con el exponente. La respuesta identifica además la función, fija en cero el punto de desarrollo e indica un radio de convergencia igual a uno. Este radio describe la serie de potencias centrada en cero, pero no garantiza que un truncamiento finito alcance una tolerancia concreta. No se utiliza álgebra simbólica ni diferenciación numérica: la calculadora aplica directamente la fórmula conocida, incluso para grados altos, con un resultado predecible y verificable.

Utilice con criterio un polinomio de Taylor finito

La lista devuelta define una aproximación polinómica cuando usted multiplica cada coeficiente por x elevado a la potencia indicada y suma los términos. Para valores cuyo valor absoluto es menor que uno, aumentar el grado suele mejorar la aproximación, aunque la convergencia se ralentiza al acercarse x a cualquiera de los extremos. En x=1, la serie infinita se convierte en la serie armónica alterna y converge a ln(2), pero un resultado finito conserva un error de truncamiento. En x=-1, el logaritmo no es finito y la serie correspondiente no ofrece un valor funcional finito. Fuera del radio de convergencia, añadir términos de Taylor no convierte este desarrollo en una aproximación válida del logaritmo. La calculadora no evalúa x, no estima el resto, no selecciona un grado para una tolerancia solicitada, no simplifica una función proporcionada por usted ni desarrolla ln(a+x) alrededor de otro centro. Su finalidad precisa es devolver de forma coherente los coeficientes de ln(1+x). Por ello resulta adecuada para demostraciones docentes, datos de prueba y código numérico que realice su propia evaluación y control del error. El navegador ofrece un resultado inmediato y cada solicitud a la API cuesta $0.002, con los mismos datos estructurados para flujos automatizados.