Taylor-Koeffizienten des natürlichen Logarithmus berechnen

Er beginnt mit dem konstanten Koeffizienten null und verwendet anschließend das Muster alternierender Kehrwerte: 1, -1/2, 1/3, -1/4 und so weiter. Jeder Datensatz nennt Potenz, numerischen Koeffizienten und exakten Bruch. Damit können Sie Aufgaben aus der Analysis prüfen, eine von Hand hergeleitete Entwicklung kontrollieren oder eine endliche Logarithmusnäherung in Software übernehmen. Die Berechnung ist deterministisch und unterstützt Grade von null bis tausend.

Wählen Sie die höchste enthaltene Potenz

Geben Sie als Grad eine nicht negative ganze Zahl ein. Der Rechner versteht diesen Wert einschließlich der Obergrenze: Grad 6 liefert daher die Koeffizienten für x mit den Potenzen 0, 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Grad 0 ist zulässig und gibt nur den konstanten Koeffizienten zurück; dieser ist null, weil ln(1+0)=0 gilt. Grad 1 ergibt die lineare Abbruchform x. Die klare Trennung zwischen Grad und Anzahl der von null verschiedenen Terme verhindert einen typischen Zählfehler: Die Ausgabe umfasst immer Grad plus einen Datensatz, da der konstante Term ausdrücklich enthalten ist. Der zulässige Bereich endet bei 1000. So können Sie umfangreiche Koeffizientenlisten erzeugen, während die Antwort begrenzt und überschaubar bleibt. Geben Sie keine Dezimalzahl, numerische Zeichenfolge, negative Zahl oder Unendlichkeit ein und lassen Sie das Feld nicht aus; erforderlich ist eine echte ganze Zahl im angegebenen Bereich. Das Werkzeug erzeugt Koeffizienten und wertet das Polynom nicht für einen bestimmten x-Wert aus, weshalb es keine x-Eingabe gibt. Sie können anschließend so viele Datensätze verwenden, wie Ihre Näherung, Herleitung, Aufgabe oder Anwendung benötigt. Derselbe Grad führt stets zur gleichen geordneten Ausgabe.

Lesen Sie die alternierenden Kehrwertkoeffizienten

Die Maclaurin-Entwicklung lautet ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+.... Somit ist der Koeffizient von x^n für jede ganze Zahl n ab 1 gleich (-1)^(n+1)/n. Der konstante Koeffizient der Potenz 0 wird getrennt behandelt und ist null. Jeder ausgegebene Datensatz enthält power, coefficient und exact. Power bezeichnet den Exponenten n. Coefficient ist der numerische JavaScript-Wert für unmittelbare Berechnungen. Exact ist eine Zeichenfolge wie 1/3 oder -1/4 und bewahrt die rationale Form ohne Darstellungsunschärfe von Gleitkommazahlen; der erste Koeffizient erscheint schlicht als 1. Positive ungerade Potenzen besitzen positive Koeffizienten, positive gerade Potenzen negative. Die Datensätze sind von Potenz 0 bis zum gewählten Grad geordnet, sodass ihre Array-Position ebenfalls dem Exponenten entspricht. Die Antwort nennt außerdem die Funktion, gibt null als Entwicklungspunkt und eins als Konvergenzradius an. Dieser Radius beschreibt die um null zentrierte Potenzreihe, garantiert jedoch keine bestimmte Genauigkeit eines endlichen Abbruchs. Weder symbolische Algebra noch numerische Ableitung sind beteiligt: Der Rechner wendet die bekannte Formel direkt an. Dadurch bleiben auch hohe Grade vorhersehbar und leicht überprüfbar.

Verwenden Sie ein endliches Taylor-Polynom richtig

Die zurückgegebene Liste definiert eine polynomielle Näherung, wenn Sie jeden Koeffizienten mit x hoch der angegebenen Potenz multiplizieren und die Terme addieren. Für x-Werte mit einem Betrag kleiner als eins verbessert ein höherer Grad gewöhnlich die Näherung, wobei die Konvergenz nahe beiden Randpunkten langsamer wird. Bei x=1 wird die unendliche Reihe zur alternierenden harmonischen Reihe und konvergiert gegen ln(2); ein endlicher Abbruch hat dennoch einen Restfehler. Bei x=-1 ist der Logarithmus nicht endlich, und die entsprechende Reihe liefert keinen endlichen Funktionswert. Außerhalb des Konvergenzradius wird diese Entwicklung auch durch zusätzliche Taylor-Terme nicht zu einer gültigen Logarithmusnäherung. Der Rechner wertet x nicht aus, schätzt keinen Rest, wählt keinen Grad für eine verlangte Toleranz, vereinfacht keine eingegebene Funktion und entwickelt ln(a+x) nicht um einen anderen Mittelpunkt. Sein klar begrenzter Zweck ist die zuverlässige Ausgabe der Koeffizienten von ln(1+x). Deshalb eignet er sich für Lehrbeispiele, Testdaten und numerische Programme mit eigener Auswertung und Fehlerkontrolle. Im Browser erhalten Sie sofort ein Ergebnis; eine API-Anfrage kostet $0.002 und liefert dieselben strukturierten Daten für automatisierte Abläufe.