Calculadora de raízes complexas quadráticas exatas

Em vez de arredondar a resposta, ela mantém a parte real como fração reduzida e a magnitude imaginária como raiz quadrada ou fração simplificada. As duas soluções são entregues juntas como um par conjugado complexo exato na forma retangular, útil para exercícios de álgebra, gabaritos, testes simbólicos e processos nos quais uma aproximação esconderia a estrutura da solução.

Reconheça quando uma quadrática tem raízes complexas

Comece pela equação padrão ax² + bx + c = 0, na qual a não pode ser zero. O discriminante é b² − 4ac. Um valor positivo gera duas raízes reais distintas, e zero gera uma raiz real repetida. Esta calculadora trata especificamente do caso restante: discriminante estritamente negativo. Nesse caso, sua raiz quadrada contém i, a unidade imaginária definida por i² = −1, e a fórmula quadrática pode ser escrita como uma parte real mais ou menos uma parte imaginária. Como a, b e c são inteiros reais, apenas a troca desse sinal cria duas soluções conjugadas. Por exemplo, x² + x + 1 tem discriminante −3 e raízes −1/2 + sqrt(3)/2 i e −1/2 − sqrt(3)/2 i. A ferramenta rejeita valores não negativos para tornar uma suposição errada visível e rejeita a = 0 porque essa entrada representa uma equação linear.

Leia o resultado exato na forma retangular

Informe os três coeficientes inteiros a, b e c na forma padrão. A resposta apresenta uma equação legível e o discriminante negativo. Cada item de roots contém real, imaginary e rectangular. O campo real é o valor reduzido −b/(2a). O campo imaginary é o coeficiente sinalizado de i, calculado por sqrt(−D)/(2|a|), após extrair fatores quadrados do radical e cancelar fatores comuns com o denominador. O campo rectangular reúne essas partes na notação u + vi. Portanto, 3/2 + sqrt(7)/2 i significa u = 3/2 e v = sqrt(7)/2; a segunda raiz mantém a coordenada real e inverte a imaginária. Nenhum decimal substitui o radical, assim frações periódicas e raízes irracionais continuam exatas. Quando o radical vira inteiro, a notação sqrt é removida; quando uma fração vira inteiro, seu denominador é omitido.

Valide o par e use-o com segurança

Para validar rapidamente, confira a simetria conjugada: as duas raízes precisam ter partes reais idênticas e partes imaginárias opostas. Você também pode aplicar as fórmulas de Vieta. A soma deve ser −b/a, pois os termos imaginários se cancelam, e o produto deve ser c/a. Outra verificação consiste em substituir uma das expressões em ax² + bx + c e simplificar até as partes real e imaginária desaparecerem. As entradas são limitadas a inteiros seguros com valor absoluto de até um milhão, preservando a exatidão do discriminante e da fatoração no navegador e no Worker da API. A ferramenta não aceita decimais, não interpreta equações digitadas e não resolve raízes reais. Converta coeficientes racionais em inteiros equivalentes antes da chamada. O navegador usa a mesma função pura, sem rede; cada item correto via API custa US$ 0,002, enquanto entradas inválidas retornam erro explícito.