Calculateur de racines complexes quadratiques exactes

Au lieu d’arrondir la réponse, il conserve la partie réelle sous forme de fraction réduite et la grandeur imaginaire sous forme de racine carrée ou de fraction simplifiée. Les deux solutions sont fournies ensemble comme une paire complexe conjuguée exacte en forme rectangulaire, adaptée aux exercices d’algèbre, aux corrigés, aux tests symboliques et aux traitements où une approximation masquerait la structure du résultat.

Reconnaissez une équation quadratique à racines complexes

Partez de l’équation standard ax² + bx + c = 0, dans laquelle a ne peut pas être nul. Son discriminant est b² − 4ac. Un discriminant positif donne deux racines réelles distinctes, tandis que zéro donne une racine réelle double. Ce calculateur se consacre au dernier cas : un discriminant strictement négatif. Sa racine carrée contient alors i, l’unité imaginaire définie par i² = −1, et la formule quadratique se réécrit comme une partie réelle augmentée ou diminuée d’une partie imaginaire. Comme a, b et c sont des entiers réels, le seul changement de ce signe produit deux solutions conjuguées. Par exemple, x² + x + 1 a pour discriminant −3 et pour racines −1/2 + sqrt(3)/2 i et −1/2 − sqrt(3)/2 i. L’outil refuse un discriminant non négatif afin de signaler toute hypothèse erronée, ainsi que a = 0, qui définirait une équation linéaire.

Lisez le résultat exact en forme rectangulaire

Saisissez les trois coefficients entiers a, b et c sous forme standard. La réponse affiche une équation lisible et le discriminant négatif. Chaque élément de roots contient real, imaginary et rectangular. Le champ real correspond à la valeur réduite −b/(2a). Le champ imaginary donne le coefficient signé de i, calculé par sqrt(−D)/(2|a|), après extraction des facteurs carrés du radical et réduction avec le dénominateur. Le champ rectangular réunit ces éléments dans la notation u + vi. Ainsi, 3/2 + sqrt(7)/2 i signifie que u vaut 3/2 et v vaut sqrt(7)/2 ; la seconde racine garde la même coordonnée réelle et inverse la coordonnée imaginaire. Aucun nombre décimal ne remplace le radical, de sorte que les fractions périodiques et les racines irrationnelles restent exactes. Si le radical devient entier, sqrt disparaît ; si une fraction se réduit à un entier, son dénominateur est omis.

Vérifiez la paire et utilisez-la correctement

Pour une vérification rapide, contrôlez la symétrie conjuguée : les deux racines doivent avoir la même partie réelle et des parties imaginaires opposées. Vous pouvez aussi appliquer les formules de Viète. Leur somme doit être −b/a, car les termes imaginaires s’annulent, et leur produit doit être c/a. Vous pouvez enfin substituer l’une des expressions dans ax² + bx + c et simplifier jusqu’à annuler les composantes réelle et imaginaire. Les entrées sont limitées aux entiers sûrs dont la valeur absolue ne dépasse pas un million, afin de préserver l’exactitude du discriminant et de sa factorisation dans le navigateur comme dans le Worker de l’API. Cet outil n’accepte pas les décimales, n’analyse pas une équation saisie et ne résout pas les racines réelles. Convertissez d’abord les coefficients rationnels en entiers équivalents. Le navigateur exécute la même fonction pure sans réseau ; chaque élément réussi via l’API coûte $0.002, et une entrée incorrecte renvoie une erreur explicite.