Rechner für exakte komplexe quadratische Nullstellen

Statt das Ergebnis dezimal zu runden, bewahrt er den Realteil als gekürzten Bruch und den Betrag des Imaginärteils als vereinfachte Quadratwurzel oder Bruch. Beide Lösungen werden gemeinsam als exaktes komplex konjugiertes Paar in Rechteckform ausgegeben. Das eignet sich für Algebraaufgaben, Lösungsschlüssel, symbolische Testfälle und alle Abläufe, bei denen eine Näherung die mathematische Struktur verdecken würde.

Erkennen Sie quadratische Gleichungen mit komplexen Nullstellen

Beginnen Sie mit der Standardgleichung ax² + bx + c = 0, wobei a nicht null sein darf. Ihre Diskriminante lautet b² − 4ac. Eine positive Diskriminante liefert zwei verschiedene reelle Nullstellen, der Wert null eine doppelte reelle Nullstelle. Dieser Rechner ist für den verbleibenden Fall bestimmt: eine strikt negative Diskriminante. Deren Quadratwurzel enthält i, die durch i² = −1 definierte imaginäre Einheit. Die quadratische Formel lässt sich dann als Realteil plus oder minus Imaginärteil schreiben. Da a, b und c reelle ganze Zahlen sind, entstehen durch den Vorzeichenwechsel zwei konjugierte Lösungen. Beispielsweise hat x² + x + 1 die Diskriminante −3 und die Lösungen −1/2 + sqrt(3)/2 i sowie −1/2 − sqrt(3)/2 i. Nichtnegative Werte werden bewusst abgelehnt, damit eine falsche Annahme sichtbar bleibt; a = 0 wird ebenfalls abgelehnt, weil die Gleichung dann linear wäre.

Lesen Sie das exakte Ergebnis in Rechteckform

Geben Sie a, b und c als ganze Zahlen in Standardform ein. Die Antwort zeigt eine lesbare Gleichung und die negative Diskriminante. Jeder Eintrag in roots enthält real, imaginary und rectangular. real ist der gekürzte Wert −b/(2a). imaginary ist der vorzeichenbehaftete Koeffizient von i aus sqrt(−D)/(2|a|), nachdem Quadratfaktoren aus der Wurzel gezogen und gemeinsame Faktoren mit dem Nenner gekürzt wurden. rectangular verbindet beide Teile in der Schreibweise u + vi. So bedeutet 3/2 + sqrt(7)/2 i, dass u = 3/2 und v = sqrt(7)/2 gilt; die zweite Lösung behält den Realteil und negiert den Imaginärteil. Die Wurzel wird nicht durch eine Dezimalzahl ersetzt, daher bleiben periodische Brüche und irrationale Werte exakt. Wird die Wurzel ganzzahlig, entfällt sqrt; wird ein Bruch ganzzahlig, entfällt sein Nenner.

Prüfen Sie das Paar und verwenden Sie es sicher

Prüfen Sie zunächst die konjugierte Symmetrie: Beide Nullstellen müssen denselben Realteil und entgegengesetzte Imaginärteile besitzen. Auch die Formeln von Vieta eignen sich zur Kontrolle. Die Summe muss −b/a ergeben, weil sich die imaginären Terme aufheben, und das Produkt muss c/a sein. Alternativ setzen Sie eine der Rechteckformen in ax² + bx + c ein und vereinfachen, bis Real- und Imaginärteil verschwinden. Eingaben sind auf sichere ganze Zahlen mit einem Betrag bis zu einer Million begrenzt. So bleiben Diskriminante und Faktorisierung im Browser und im API-Worker exakt. Das Werkzeug akzeptiert keine Dezimalzahlen, analysiert keinen eingegebenen Gleichungstext und löst keine reellen Nullstellen. Wandeln Sie rationale Koeffizienten vorher in äquivalente ganze Zahlen um. Der Browser führt dieselbe reine Funktion ohne Netzwerk aus; ein erfolgreicher API-Eintrag kostet $0.002, ungültige Eingaben liefern einen eindeutigen Fehler.