Calculadora de raíces complejas cuadráticas exactas

En lugar de redondear la respuesta, conserva la parte real como fracción reducida y la magnitud imaginaria como raíz cuadrada o fracción simplificada. Las dos soluciones se entregan juntas como un par conjugado complejo exacto en forma rectangular, útil para ejercicios de álgebra, claves de respuestas, pruebas simbólicas y procesos donde una aproximación ocultaría la estructura de la solución.

Reconozca cuándo una cuadrática tiene raíces complejas

Parta de la ecuación estándar ax² + bx + c = 0, donde a no puede ser cero. Su discriminante es b² − 4ac. Un discriminante positivo produce dos raíces reales distintas y uno igual a cero produce una raíz real repetida. Esta calculadora se concentra en el caso restante: un discriminante estrictamente negativo. Entonces su raíz cuadrada contiene i, la unidad imaginaria definida por i² = −1, y la fórmula cuadrática se reorganiza como una parte real más o menos una parte imaginaria. Como a, b y c son enteros reales, el cambio de signo genera dos soluciones conjugadas. Por ejemplo, x² + x + 1 tiene discriminante −3 y soluciones −1/2 + sqrt(3)/2 i y −1/2 − sqrt(3)/2 i. La herramienta rechaza discriminantes no negativos para que una suposición incorrecta sea visible, y también rechaza a = 0 porque esa expresión sería lineal, no cuadrática.

Interprete el resultado exacto en forma rectangular

Introduzca a, b y c como enteros en la forma estándar. La respuesta muestra una ecuación legible y el discriminante negativo. Cada elemento de roots contiene real, imaginary y rectangular. El campo real es el valor reducido −b/(2a). El campo imaginary es el coeficiente con signo de i, obtenido de sqrt(−D)/(2|a|), después de extraer factores cuadrados del radical y cancelar factores comunes con el denominador. El campo rectangular combina ambas piezas en la notación u + vi. Así, 3/2 + sqrt(7)/2 i indica u = 3/2 y v = sqrt(7)/2; la segunda solución conserva la coordenada real y niega la imaginaria. No se sustituye el radical por un decimal, por lo que las fracciones periódicas y las raíces irracionales siguen siendo exactas. Si el radical se simplifica a un entero, desaparece la notación sqrt; si una fracción se reduce a entero, se omite el denominador.

Valide el par y úselo con seguridad

Para una comprobación rápida, confirme la simetría conjugada: ambas raíces deben tener la misma parte real y partes imaginarias opuestas. También puede aplicar las fórmulas de Vieta. La suma debe ser −b/a porque los términos imaginarios se cancelan, y el producto debe ser c/a. Otra opción es sustituir cualquiera de las expresiones en ax² + bx + c y simplificar hasta que las partes real e imaginaria sean cero. Las entradas se limitan a enteros seguros cuyo valor absoluto no supera un millón, para mantener exactos el discriminante y su factorización tanto en el navegador como en el Worker de la API. La herramienta no acepta decimales, no interpreta una ecuación escrita y no resuelve raíces reales. Convierta coeficientes racionales en enteros equivalentes antes de usarla. El navegador ejecuta la misma función pura sin red; cada elemento correcto mediante API cuesta $0.002, y las entradas inválidas devuelven un error claro.