Equação quártica pelas raízes

Você pode informar valores distintos ou repetidos; a ferramenta expande os fatores correspondentes e retorna a forma padrão, os coeficientes em ordem decrescente de potência e uma equação legível. Ela é útil quando um exercício fornece os zeros, mas pede o polinômio, quando você precisa conferir uma fatoração ou quando um programa espera um vetor de coeficientes em vez da notação por raízes. O cálculo é determinístico e não usa serviços externos de álgebra.

Converta quatro raízes em fatores lineares

Um número r é raiz de um polinômio quando a substituição de x por r torna o polinômio igual a zero. O teorema do fator liga essa condição a um fator linear: a raiz r corresponde a (x - r). Esta calculadora aplica a regra aos quatro valores fornecidos e forma (x - r1)(x - r2)(x - r3)(x - r4). Raízes negativas geram naturalmente uma soma dentro do fator, pois subtrair um valor negativo equivale a somar. Uma raiz zero fornece o fator x. Valores repetidos são preservados; portanto, 2, 2, -1 e 0 criam um polinômio no qual 2 tem multiplicidade dois. O resultado é mônico, isto é, seu coeficiente líder vale 1. Assim, quatro fatores lineares sempre produzem um termo x^4, mesmo que coeficientes inferiores se anulem. Informe as raízes como números JSON reais, não como expressões ou constantes simbólicas. São exigidos exatamente quatro números reais finitos, o que mantém a operação específica e a validação clara.

Como a expansão e os coeficientes são calculados

A calculadora expande os fatores por convolução determinística dos coeficientes. Ela começa com o polinômio constante 1. Para cada raiz r, multiplica a lista atual por x - r: cada coeficiente contribui uma vez para a posição da potência imediatamente superior e outra vez, multiplicado por -r, para a posição seguinte. Após quatro etapas, a lista é [a, b, c, d, e] para ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e. Como o polinômio construído é mônico, a sempre vale 1. Os demais números também correspondem às somas simétricas elementares: b é o negativo da soma das raízes, c soma os produtos de todos os pares, d é o negativo da soma dos produtos triplos e e é o produto das quatro raízes. A resposta oferece o vetor ordenado, campos nomeados da forma padrão, a notação fatorada, uma expressão formatada e uma equação igualada a zero. O mesmo cálculo pode ser usado em código, atividades e conferências visuais.

Leia o resultado e confira sua quártica

Use o vetor de coeficientes ao enviar o polinômio a um software numérico: a ordem é sempre x^4, x^3, x^2, x e o termo constante. Use standard_form quando campos nomeados forem mais claros ou copie a equação para uma resolução escrita. Para uma verificação rápida, substitua cada raiz original na expressão expandida; todas devem produzir zero, exceto por pequenos efeitos de arredondamento possíveis com entradas decimais em ponto flutuante binário. Você também pode observar relações estruturais. O termo constante é o produto das quatro raízes, enquanto o coeficiente de x^3 é o negativo da soma delas. Se uma raiz for zero, o termo constante também será zero. Quando houver pares de raízes opostas, termos de potência ímpar podem se cancelar. O endpoint não resolve a equação, pois as raízes já são conhecidas; ele executa a operação inversa, construindo e expandindo a única quártica mônica associada a elas. Cada solicitação custa US$ 0,002 por item, e um conjunto de quatro raízes conta como um item.