Équation quartique à partir des racines

Vous pouvez saisir des valeurs distinctes ou répétées : l’outil développe les facteurs correspondants et renvoie la forme standard, les coefficients par puissances décroissantes et une équation lisible. Il est utile lorsqu’un exercice donne les zéros mais demande le polynôme, lorsque vous souhaitez vérifier une factorisation ou lorsqu’un logiciel attend un tableau de coefficients plutôt qu’une notation par racines. Le calcul est déterministe et ne dépend d’aucun service d’algèbre externe.

Transformez quatre racines en facteurs linéaires

Un nombre r est une racine d’un polynôme lorsque le remplacement de x par r donne zéro. Le théorème des facteurs relie cette propriété à un facteur linéaire : la racine r correspond à (x - r). La calculatrice applique cette règle aux quatre valeurs et forme (x - r1)(x - r2)(x - r3)(x - r4). Une racine négative produit naturellement une addition dans le facteur, car soustraire une valeur négative revient à additionner. Une racine nulle apporte le facteur x. Les valeurs répétées sont conservées : 2, 2, -1 et 0 créent ainsi un polynôme où 2 est de multiplicité deux. Le résultat est unitaire, donc son coefficient dominant vaut 1. Quatre facteurs linéaires donnent toujours un terme x^4, même si certains coefficients inférieurs s’annulent. Saisissez les racines sous forme de véritables nombres JSON, et non d’expressions ou de constantes symboliques. Exactement quatre nombres réels finis sont requis afin de garantir une validation claire.

Calcul du développement et des coefficients

L’outil développe les facteurs par convolution déterministe des coefficients. Il part du polynôme constant 1. Pour chaque racine r, il multiplie la liste courante par x - r : chaque coefficient contribue à la position de puissance supérieure, puis, multiplié par -r, à la position suivante. Après quatre étapes, la liste obtenue est [a, b, c, d, e] pour ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e. Puisque le polynôme construit est unitaire, a vaut toujours 1. Les autres valeurs correspondent aux sommes symétriques élémentaires : b est l’opposé de la somme des racines, c est la somme des produits par paires, d est l’opposé de la somme des produits triples et e est le produit des quatre racines. La réponse comprend le tableau ordonné, des champs nommés pour la forme standard, la notation factorisée, une expression mise en forme et une équation égale à zéro. Le résultat convient ainsi au code, aux exercices et à la vérification visuelle.

Lisez le résultat et vérifiez votre quartique

Utilisez le tableau des coefficients pour transmettre le polynôme à un logiciel numérique : l’ordre est toujours x^4, x^3, x^2, x, puis le terme constant. Choisissez standard_form lorsque des champs nommés sont plus clairs, ou copiez l’équation dans une solution écrite. Pour une vérification rapide, remplacez x par chaque racine dans l’expression développée ; le résultat doit être zéro, à de faibles effets d’arrondi près pour les décimales en virgule flottante binaire. Vous pouvez aussi examiner la structure. Le terme constant est le produit des quatre racines et le coefficient de x^3 est l’opposé de leur somme. Si une racine vaut zéro, le terme constant doit être nul. Des racines opposées par paires peuvent annuler des termes de puissance impaire. L’endpoint ne résout pas l’équation, puisque les racines sont déjà connues : il réalise l’opération inverse et construit l’unique quartique unitaire qui leur correspond. Chaque requête coûte $0.002 par élément ; un jeu de quatre racines constitue un élément.