Quartische Gleichung aus Nullstellen

Sie können verschiedene oder mehrfach vorkommende Werte eingeben; das Werkzeug multipliziert die zugehörigen Faktoren aus und liefert die Standardform, die Koeffizienten in absteigender Potenzreihenfolge sowie eine lesbare Gleichung. Das ist hilfreich, wenn eine Aufgabe die Nullstellen vorgibt, aber das Polynom verlangt, wenn Sie eine Faktorisierung prüfen möchten oder wenn Software statt der Nullstellenschreibweise einen Koeffizientenvektor erwartet. Die Berechnung ist deterministisch und benötigt keinen externen Algebra-Dienst.

Vier Nullstellen in Linearfaktoren umwandeln

Eine Zahl r ist eine Nullstelle eines Polynoms, wenn das Einsetzen von r für x den Wert null ergibt. Der Faktorsatz verbindet diese Aussage mit einem Linearfaktor: Zur Nullstelle r gehört (x - r). Der Rechner wendet diese Regel auf alle vier Werte an und bildet (x - r1)(x - r2)(x - r3)(x - r4). Negative Nullstellen führen im Faktor zu einer Addition, weil das Subtrahieren einer negativen Zahl einer Addition entspricht. Eine Nullstelle 0 liefert den Faktor x. Mehrfach eingegebene Werte bleiben erhalten; aus 2, 2, -1 und 0 entsteht etwa ein Polynom, in dem 2 die Vielfachheit zwei besitzt. Das Ergebnis ist normiert, sein Leitkoeffizient ist also 1. Vier Linearfaktoren erzeugen deshalb stets einen Term x^4, selbst wenn niedrigere Koeffizienten wegfallen. Geben Sie die Nullstellen als echte JSON-Zahlen ein, nicht als Ausdrücke oder symbolische Konstanten. Genau vier endliche reelle Zahlen sind erforderlich, damit die Prüfung eindeutig bleibt.

So werden Entwicklung und Koeffizienten berechnet

Der Rechner entwickelt die Faktoren durch eine deterministische Faltung der Koeffizienten. Ausgangspunkt ist das konstante Polynom 1. Für jede Nullstelle r wird die aktuelle Liste mit x - r multipliziert: Jeder vorhandene Koeffizient trägt einmal zur nächsthöheren Potenzposition und, mit -r multipliziert, einmal zur folgenden Position bei. Nach vier Schritten entsteht [a, b, c, d, e] für ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e. Da das konstruierte Polynom normiert ist, gilt stets a = 1. Die übrigen Werte stimmen mit den elementarsymmetrischen Summen überein: b ist die negative Summe der Nullstellen, c die Summe aller paarweisen Produkte, d die negative Summe aller Dreifachprodukte und e das Produkt aller vier Nullstellen. Die Antwort enthält sowohl den geordneten Vektor als auch benannte Felder der Standardform. Zusätzlich erhalten Sie die Faktorschreibweise, einen formatierten Ausdruck und eine auf null gesetzte Gleichung für Programme, Arbeitsblätter und Sichtprüfungen.

Ergebnis lesen und das Polynom prüfen

Verwenden Sie den Koeffizientenvektor für numerische Software: Die Reihenfolge lautet immer x^4, x^3, x^2, x und anschließend das konstante Glied. Nutzen Sie standard_form, wenn benannte Felder übersichtlicher sind, oder übernehmen Sie die Gleichung in eine schriftliche Lösung. Zur schnellen Kontrolle setzen Sie jede ursprüngliche Nullstelle in den entwickelten Ausdruck ein; jedes Ergebnis sollte null sein, abgesehen von kleinen Rundungseffekten bei Dezimalzahlen in binärer Gleitkommaarithmetik. Auch strukturelle Beziehungen helfen: Das konstante Glied ist das Produkt der vier Nullstellen, der Koeffizient von x^3 das Negative ihrer Summe. Ist eine Nullstelle null, muss auch das konstante Glied null sein. Gegenüberliegende Nullstellenpaare können ungerade Potenzen aufheben. Der Endpoint löst keine Gleichung, da die Nullstellen bereits bekannt sind; er führt die Umkehroperation aus und konstruiert das zugehörige eindeutige normierte Polynom. Eine API-Anfrage kostet $0.002 pro Element; vier Nullstellen gelten als ein Element.